История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи

Мы специально задержались на рассмотрении трактата «Квадратура параболы», чтобы показать различие между механическим и геометрическим методами доказательства, которыми пользовался Архимед. В последующих письмах к Досифею (два письма «О шаре и цилиндре», затем «О коноидах и сфероидах» и «О спиралях») мы уже не находим механического метода, зато геометрический метод подвергается им значительному усовершенствованию. А именно, в отличие от метода исчерпывания Эвдокса (примером которого может служить процедура, примененная Архимедом в «Квадратуре параболы») усовершенствованный метод Архимеда состоял в том, что подлежащая определению величина заключалась между двумя интегральными суммами, разность которых могла быть сделана меньше любой наперед заданной величины. Искомая величина находилась при этом как общий предел обеих сумм при безграничном увеличении числа слагаемых, что было эквивалентно задаче о вычислении определенного интеграла. При определении поверхности шара, при нахождении объема сегментов параболоида и гиперболоида, а также эллипсоида вращения Архимед, по сути дела, вычислял интегралы:

Этим же методом Архимед решал и более трудные задачи — определения длин дуг и площадей ряда кривых поверхностей.

Трудно сказать, осознавал ли Архимед, что в каждой из рассмотренных им задач речь шла об одном и том же математическом понятии — понятии определенного интеграла. Во всяком случае, у него еще не было средств, чтобы дать общее определение интеграла.

Наряду с методами вычисления площадей и объемов Архимед разработал метод определения касательной к кривой, который можно считать предвосхищением дифференциального исчисления, поскольку он фактически сводится к нахождению производной. По каким-то причинам этот метод фигурирует только в письме «О спиралях», где он применяется для определения касательной к спирали ρ = αφ (так называемая Архимедова спираль), однако рассуждения Архимеда имеют общий характер и применимы к любой дифференцируемой кривой. Тем же методом Архимед пользуется для нахождения экстремальных значений алгебраических выражений, которые могут быть выражены в виде геометрических кривых. В частности, пользуясь современной терминологией, можно сказать, что он провел полное исследование существования положительных корней кубического уравнения определенного вида. Проблема определения экстремальных значений сводится Архимедом к проблеме нахождения касательной к соответствующей кривой.

Математические методы Архимеда оказали громадное влияние на развитие математики нового времени. Упомянем работы таких математиков XVII столетия, как Лука Валерио («Три книги о центре тяжести», 1604), Григорий Сен-Венсан («Геометрический труд о квадратуре круга и конических сечений», опубликован в 1647 г.), Пауль Гульдин (четыре книги «О центре тяжести», 1635–1641), Бонавентура Кавальери («Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного», 1635; а также продолжение этого труда — «Шесть геометрических этюдов», 1647), Эванджелиста Торричелли («Геометрические труды», 1644) и другие. Во всех этих работах использовались и развивались процедуры, применявшиеся для решения аналогичных задач Архимедом, и тем самым подготавливалась великая революция в математике, выразившаяся в создании анализа бесконечно малых в трудах Ньютона и Лейбница. Можно только согласиться с И. Н. Веселовским, назвавшим Архимеда «ведущим математиком XVII в.» [294] .

294

Архимед. Соч. С. 56.

Переход к чисто геометрическим доказательствам не означал, что Архимед перестал признавать эвристическую ценность метода, основанного на механических аналогиях. Это ясно следует из его позднего, сравнительно недавно найденного сочинения, получившего наименование «Эфод» [295] (его полное греческое заглавие таково: Περί τών μηχανικών ϑεορημα τών προς Έρατοσϑένην ίφοδος). Рукопись этого сочинения была обнаружена в одном из иерусалимских монастырей приват-доцентом Петербургского университета, греком по национальности, Пападопуло Керамевсом, который увидел, что под текстов какого-то духовного содержания на пергаменте заметен другой, значительно более старый текст. Этот палимпсест был тщательно изучен в 1906–1908 гг. известным датским филологом И. Л. Хейбергом, установившим, что первоначальный текст содержит значительную часть трактата «О плавающих телах», а также «Эфод», ранее известный лишь по отдельным цитатам в «Метрике» Герона. Обнаружение и прочтение столь замечательного пергамента принадлежит, бесспорно, к числу значительнейших открытий классической филологии нашего века.

295

'Έγοδος — вход, доступ, в переносном смысле — метод.

«Эфод» написан в форме письма Архимеда к Эратосфену. В нем Архимед приводит целую серию теорем, доказательства которых были им найдены сперва механическим методом (среди них содержится, между прочим, и теорема о квадратуре параболы). Во вступительной части письма Архимед пишет по этому поводу следующее: «Зная, что ты являешься… ученым человеком и по праву занимаешь выдающееся место в философии, а также при случае можешь оценить и математическую теорию, я счел нужным… изложить тебе некоторый особый метод, при помощи которого ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем. Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было доказано также и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством, однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания ничего не зная. Поэтому и относительно тех теорем о конусе и пирамиде, для которых Эвдокс первый нашел доказательство, а именно что всякий конус составляет третью часть цилиндра, а пирамида — третью часть призмы с тем же основанием и равной высотой, немалую долю заслуги я уделю и Демокриту, который первый высказал это положение относительно упомянутых фигур, хотя и без доказательства. И нам довелось найти публикуемые теперь теоремы тем же самым методом, как и предыдущие; поэтому я и решил написать об этом методе и обнародовать его, с одной стороны, для того, чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминания о нем, а с другой — поскольку я убежден, что он может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову» [296] .

296

Архимед. Соч. С. 299.

Непосредственное отношение к теоретической механике имеет трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур» (Περί επιπέδων ισορροπιών). Он состоит из двух частей. В первой части Архимед дает строго аксиоматический вывод закона равновесия рычага и определяет центры тяжести параллелограмма, треугольника и трапеции. Во второй части вычисляются центры тяжести параболического сегмента и параболической трапеции.

По поводу времени написания этого сочинения существуют различные мнения. Английский историк математики Т. Л. Хит, а у нас С. Я. Лурье считали, что первая часть трактата «О равновесии плоских фигур» относится к раннему периоду творчества Архимеда, когда он был занят проблемами центра тяжести и равновесия рычага [297] . Вторую часть трактата Хит относит к более позднему времени, когда уже была написана «Квадратура параболы». И. Н. Веселовский выражал свое несогласие с таким разделением трактата на два различных по времени создания сочинения и приводил по этому поводу ряд соображений, которые нам представляются достаточно вескими [298] . Вкратце эти соображения сводятся к следующему.

297

Heath Т. L. A History of Greek Mathematics. Vol. 1, 2. Cambridge, 1912;

Лурье С. Я. Архимед. М.; Л., 1945. С. 82.

298

Архимед. Соч. С. 554–556.

Как первая, так и вторая часть трактата резко отличаются по своему стилю от работ Архимеда раннего периода. Так, например, в «Квадратуре параболы» еще очень заметна механическая основа, на которой строится первое доказательство: говорится о рычагах, о подвешенных грузах, о равновесии, которое предполагается практически осуществимым, т. е. устойчивым, и т. д. Ничего этого нет в трактате «О равновесии плоских фигур». Он начинается с формулировки семи аксиом, из которых с помощью чистой дедукции выводится закон рычага. Вот эти аксиомы:

«1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести па большей длине.

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.

5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены. (Под подобным расположением точек в подобных фигурах мы подразумеваем такое, в котором прямые, проведенные из этих точек к вершинам равных углов, образуют равные углы с соответственными сторонами.)

6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.

7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры» [299] .

Мы видим, что эти аксиомы отчетливо распадаются на две группы. К первой группе относятся первая, вторая, третья и шестая аксиомы, лежащие в основе теории рычага. В аксиомах четвертой, пятой и седьмой говорится о центрах тяжести плоских фигур, причем само понятие центра тяжести считается хорошо известным. Связь между обеими группами аксиом становится очевидной в ходе последующих доказательств, причем эти доказательства имеют крайне формальный характер: место физического рычага занимают простые геометрические линии, и само равновесие становится каким-то неопределенным, отвлеченно-математическим; теоремы доказываются большей частью от противного, причем это относится в равной мере как к первой, так и ко второй части трактата. Материал первой книги подготавливает все необходимое для доказательства теорем второй книги, причем между предложениями обеих частей имеется тесная логическая связь.

299

Архимед. Соч. С. 15.