Квантовая механика и интегралы по траекториям

Другой интересный пример — это взаимодействие с осциллятором при конечной температуре. Если температура равна T, то начальное состояние — это состояние n с относительной вероятностью e^{– E_n/kT}. В нашем случае абсолютная вероятность

w

_n

=

e

^{– nh/kT}

(1-e

^{– h/kT}

)

.

(12.124)

Если бы начальным было состояние n, то функционал влияния имел бы вид

F

_n

=

^m

G

_mn

G

'*

mn

,

(12.125)

а не (12.119). Используя правило III, сложим эти функционалы с весами w_n, так что окончательное выражение для функционала F равно

F

=

^m,n

G

_mn

G

'*

mn

e

^{– nh/kT}

(1-e

^{– h/kT}

)

.

(12.126)

Эту сумму трудно получить непосредственно из выражения (8.145). Она равна

F

=

G

₀₀

G'

₀₀

e

^*'

exp

–

(-')(*-'*)

e^h/kT– 1

.

(12.127)

Вместо (12.123) для a_R получается выражение

a

_R

=

C^2

2

e^h/kT

e^h/kT– 1

(+)

+

1

e^h/kT– 1

(-)

,

(12.128)

а суммы таких выражений для многих осцилляторов дают описание среды. Здесь возможны переходы как к меньшим (<0), так и к большим энергиям.

Заметим, что если >0, то обратится в нуль первая -функция, тогда как при <0 равна нулю вторая -функция; кроме того, как и следовало ожидать,

a

_R

(-||)

=

e

^h||/kT

a

_R

(+||)

.

(12.129)

Это соотношение означает, что в теории возмущений, когда E_n>E_m,

вероятность перехода за 1 сек

к большим энергиям (m->n)

вероятность перехода за 1 сек

к меньшим энергиям (n->m)

=

=

e

^{– (E_n– E_m)/kT}

;

(12.130)

при этом мы воспользовались выражением (12.110).

Таким образом, если система q занимает различные состояния n с относительными вероятностями e^{– (E_n)/kT}, то средние числа переходов к большим и меньшим энергиям будут выравниваться и в случае слабого взаимодействия с окружающей средой система будет находиться в статистическом равновесии. Именно это и следовало ожидать из принципов статистики. Любая среда с температурой T, приводящая к квадратичному функционалу влияния, будет обладать свойствами, описываемыми соотношением (12.129).

Для атома, рассматриваемого в качестве системы q и взаимодействующего с электромагнитным полем при температуре T как с некоторой средой, величина a_R даётся выражением (12.128), проинтегрированным по всем собственным колебаниям поля с различными частотами . Его можно разделить на часть, соответствующую холодной среде, описываемую уравнением (12.123), и внешний шумовой потенциал

a

_R

=

C^2

2

(+)

+

1

e^h/kT– 1

C^2

2

[

(+)

+

(-)

]

.

(12.131)

Первый член вызывает переходы только к более низким уровням, называемым спонтанным излучением. Второй член с одинаковой лёгкостью вызывает переходы вверх и вниз, называемые индуцированным излучением, или индуцированным поглощением. Мы говорим, что этот переход вызывается внешним потенциалом или шумом, среднеквадратичная интенсивность которого при частоте меняется с температурой как 1/(e^h/kT– 1). Таким способом Эйнштейн впервые рассмотрел законы излучения чёрного тела. Как мы теперь видим, любое окружение, дающее квадратичный потенциал влияния при температуре T (назовём его окружением с линейной реакцией), можно рассмотреть тем же путём. Многие исследователи распространили аргументы Эйнштейна на другие системы, например на шумовые флуктуации потенциала в вольтметре при температуре T. Первый член измеряет скорость, с которой энергия определённым способом отбирается от системы. Он измеряет величину диссипации, вызванной средой (например, электрическим сопротивлением металла или радиационным сопротивлением электромагнитного поля). Относительно тел при температуре T можно сказать, что они ведут себя так, как будто, кроме диссипации, имеется генерируемый средой шумовой сигнал, средний квадрат которого при любой частоте пропорционален диссипации при той же частоте и величине (e^h/kT– 1)^{– 1}. Это утверждение называется диссипатпивно-флуктуационной теоремой.

Этот вопрос мы рассматривать здесь не будем (см. [20—22]).

§10. Заключение

Из рассмотренных приложений интегралов по траекториям к теории вероятностей ясно, что если подынтегральные выражения имеют гауссову форму, то наш метод может оказаться весьма полезным. Однако при этом мы не выходим за круг задач, которые можно решить и другими методами без использования интегралов по траекториям. Возникает резонный вопрос о практической значимости интегралов по траекториям. На это можно сказать лишь, что если задача не является гауссовой, то с помощью интегралов по траекториям её по крайней мере можно сформулировать, исследовать и надеяться, что дальнейшее развитие этого метода позволит также и решить задачу. Единственный случай, когда с помощью интегралов по траекториям получается результат, который нельзя просто вывести обычными методами,— это вариационный принцип, обсуждавшийся в гл. 11. Можно думать, что при дальнейшем совершенствовании метода число таких результатов возрастёт.

Стоит также подчеркнуть, что этот метод допускает быстрый переход от одной формулировки задачи к другой и часто даёт ясное или легко выводимое указание на соотношение, которое затем со значительно большей затратой труда можно вывести обычными способами.

Что касается применений к квантовой механике, то методу интегралов по траекториям присущи, к сожалению, серьёзные недостатки. Таким методом нельзя просто рассматривать спиновые или другие подобные операторы. Наиболее плодотворным он оказывается в применении к системам, для описания которых вполне достаточно координат и канонически сопряжённых им импульсов. Тем не менее спин является неотъемлемой частью реальных квантовомеханических систем. И очень серьёзным ограничением является то, что полуцелый спин электрона не имеет простого и ясного представления в нашем методе. Спин электрона можно ввести, если амплитуды вероятности и все величины рассматривать как кватернионы, а не как обычные комплексные числа; однако возникающая при этом некоммутативность таких чисел — серьёзное осложнение.

Вместе с тем многие результаты и формулировки метода интегралов по траекториям можно выразить с помощью другого математического формализма, представляющего собой одну из форм исчисления упорядоченных операторов (см. [23]). В этой форме большинство результатов предыдущих глав находят аналогичное, но более общее представление, включающее некоммутирующие переменные (такое обобщение неизвестно лишь для специальных задач гл. 11). Например, обсуждение в данной главе функционалов влияния должно натолкнуть читателя на мысль, что важным и интересным обобщением была бы связь среды не с координатой q, а с некоммутирующим оператором, таким, как спин. Такие обобщения не могут быть просто выражены с помощью интегралов по траекториям, но легко формулируются на языке тесно связанного с ним операторного исчисления.