Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(t,t')
q(t)
q(t')
dt'
dt
.
Если подставить её вместо F в выражение (12.89) и вычислить, как в (12.83) при =n и =m, то видно, что интеграл по Dq(t) и Dq'(t) разбивается на произведение двух сомножителей. Первый интеграл по q имеет вид
e
iS[q]
t
(t,t')
q(t)
q(t')
dt'
dt
Dq(t)
и представляет собой матричный элемент
m
–
t
(t,t')
q(t)
q(t')
dt'
dt
n
=
=
–
t
m
q(t)
q(t')
n
(t,t')
dt'
dt
(12.105)
(см.
P(n->m)
=
t
[
(t,t')
m
q(t)
q(t')
n
m
1
n
–
–
*(t,t')
m
1
n
m
q(t)
q(t')
*
n
+
*(t,t')
m
q(t)
n
m
q(t')*
n
+
+
(t,t')
m
q(t)*
n
m
q(t')
n
]
dt'
dt
.
(12.106)
Если состояния m и n ортогональны, то m1n=0; если же действие S[q] соответствует постоянному гамильтониану с энергетическими уровнями Ek, то
m
q(t)
n
=
q
mn
e
– i(Em– En)t
(12.107)
В выражении (12.106) остаются только два последних члена, комплексно сопряжённых друг с другом, так что
P(n->m)
=
2Re
t
(t,t')
e
– i(Em– En)(t-t')
dt'
dt
.
(12.108)
Задача 12.3. Проверьте, что для m=n в соответствии с законом сохранения вероятности
P(m->m)
=
1-
n
P(m->n)
Для однородной по времени среды (t,t')=(t-t'). Предположим, что мы определили преобразование Фурье
a
=
0
e
–
d
(12.109)
[t
не определена для t<0]. Так как вероятность, задаваемая формулой (12.108), пропорциональна интервалу времени, на который распространяются интегралы, то можно определить скорость перехода за 1 сек и вероятность переходаP(n->m)
за 1 сек
=
2a
R
(E
m
– E
n
)
|p
nm
|^2
,
(12.110)
где мы выделили действительную и мнимую части a:
a
=
a
R
+
ia
I
.
(12.111)
Можно отметить также, что для возмущения, вызываемого классическим потенциалом, соответствующим гауссову шуму, — действительная функция [см. (12.87)1, а действительная часть является спектральной функцией мощности шума, определённой соотношением (12.32). Следовательно, для таких классических шумовых систем
a
R
=
a
R
(-)
(12.112)
и в первом порядке по возмущению
[скорость перехода n->m]
=
[скорость перехода m->n]
.
(12.113)
Обе скорости пропорциональны мощности P при значении , равном частоте перехода. Таким образом, классические потенциалы с равной вероятностью вызывают переходы вверх и вниз.
Другой интересный пример представляет среда, которая не может с какой-либо заметной вероятностью возмещать энергию. Например, если первоначально она находится в основном состоянии или при нулевой температуре. Мы назовём такую среду «холодной». В этом случае переходы системы q с возрастанием энергии (Em– En) маловероятны. Следовательно, для систем в холодной среде
a
R
при
>0
(12.114)
и в первом порядке по возмущению
[скорость перехода n->m]
=0, если E
m
– E
n
.
(12.115)
Так как любая функция a может быть представлена суммой двух величин [величины, определяемой соотношением (12.112), и величины, определённой в (12.114)], то очевидно, что любой не зависящий от времени гауссов функционал эквивалентен системе в холодной среде, подвергающейся воздействию флуктуирующего классического потенциала, описываемого гауссовым выражением. Этот вывод следует из правила IV и того факта, что произведение двух гауссовых функций тоже есть гауссова функция. Если воздействие одной среды на систему представляется функцией A1(t,t'), как это сделано в соотношении (12.87), а воздействие другой среды — аналогичной функцией A2(t,t'), то единственный член взаимодействия в парциальном результирующем гауссовом функционале равен A1+A2.