Квантовая механика и интегралы по траекториям

Правило V — это просто формулировка наших результатов, приведённых в соотношениях (12.82) и (12.85).

Мы рассмотрели некоторые общие свойства функционалов влияния. Связанные с ними расчёты используют различные методы вычисления интегралов по траекториям (12.89). Закончим этот параграф рассмотрением некоторых важных функционалов влияния.

Подобно тому, насколько простыми и важными оказываются гауссово распределение вероятности и гауссово распределение шума, настолько важны и функционалы влияния, содержащие координаты q(t), q'(t) в виде квадратичных форм в экспонентах; назовём их гауссовыми функционалами влияния.

Во-первых, если среда представляет собой систему гармонических осцилляторов в основном состоянии (или при заданной температуре), линейно связанных с рассматриваемой системой q, то вычисление выражения (12.90) показывает, что F — гауссов функционал. Однако гауссовы функционалы влияния (подобно гауссовым вероятностям), дают хорошее приближение для гораздо более широкого класса задач, в которых эффект является суммарным результатом большого числа малых воздействий. Рассмотрим, например, атом, слабо взаимодействующий с большим числом атомов окружающего газа. Влияние каждого атома A очень мало, так что его функционал влияния F_A немногим отличается от единицы. Однако, согласно правилу IV, полный функционал F является произведением многих таких множителей и его можно аппроксимировать экспоненциальной функцией суммы всех малых вкладов. Разложение этого вклада с точностью до величины первого и второго порядков малости относительно взаимодействия с отдельным атомом приводит к функционалу влияния гауссова типа.

Как иллюстрацию этого заключения, рассмотрим влияние металлического образца, находящегося в объёмном резонаторе. Это влияние можно просто, в линейной форме, выразить одной функцией импеданса, несмотря на всю сложность поведения электронов в металле. Функционал влияния металла Q на объёмный резонатор q близок к гауссову, и в этом смысле металл эквивалентен некоторой системе гармонических осцилляторов, которая приводила бы к тому же самому функционалу влияния.

Наиболее общий экспоненциальный функционал с линейной зависимостью от координат q(t) и q'(t) имеет вид

F[q(t),q'(t)]

=

exp

i

q(t)

V(t)

dt

–

i

q'(t)

U(t)

dt

,

(12.98)

где V(t) и U(t) — произвольные комплексные функции. Однако, чтобы оказаться функционалом влияния, он должен удовлетворять пяти перечисленным правилам. Правило I требует, чтобы U(t)=V*(t), а из правила II следует U(t)=V(t), поэтому U и V должны быть равными и действительными величинами. Таким образом, согласно правилу V, самый общий линейный функционал эквивалентен действию классического внешнего потенциала.

Нет необходимости обсуждать этот простой случай далее; он анализируется до конца, если добавить член q(t)V(t) к гамильтониану невозмущённой системы. Если в показателе экспоненты содержатся и квадратичный и линейный члены, то последний можно выделить в отдельный множитель, так что правило IV позволяет нам утверждать: в данном случае действует классический потенциал плюс эффект чисто квадратичного функционала.

Самый общий экспоненциальный функционал, квадратичный относительно своих аргументов, имеет вид

F[q(t),q'(t)]

=

exp

–

_t

[

(t,t')

q(t)

q(t')

+

(t,t')

q'(t)

q'(t')

+

+

(t,t')

q(t)

q'(t')

+

(t,t')

q'(t)

q(t')

]

dt

dt'

(12.99)

с произвольными комплексными функциями , , и . (Эти функции достаточно определить только для t>t'.) Интегралы берутся здесь по всему интересующему нас интервалу времени, однако мы всегда выбираем t>t'; это не ограничивает общности и удобно для дальнейшего анализа. Чтобы функционал оказался функционалом влияния, мы должны в соответствии с правилом I положить

(t,t')

=

*(t,t')

(12.100)

и

(t,t')

=

*(t,t')

(12.101)

Правило II даёт нам больше информации. Если положить q(t)=q'(t) для t>a и t'<a, то выражение

^a

_a

[

(t,t')

q(t)

q(t')

+

(t,t')

q'(t)

q'(t')

+

+

(t,t')

q(t)

q'(t')

+

(t,t')

q'(t)

q(t')

]

dt

dt'

,

(12.102)

составляющее часть равенства (12.99), не должно зависеть от q(t) при произвольных значениях q(t') в области t>a и q'(t') в области t'<a. Для этого необходимо, чтобы

(t,t')

=-

(t,t')

,

(t,t')

=-

(t,t')

(12.103)

до тех пор, пока t>a и t'<a. А так как a — произвольная величина, то условия (12.103) должны выполняться для всех t и t', если только t>t'.

Отсюда следует, что самый общий гауссов функционал влияния зависит только от одной комплексной функции (t,t') и выражается в форме

exp

–

_t

[q(t)-q'(t)]

[

q(t')(t,t')

–

q'(t')*(t,t')

]

dt

dt'

.

(12.104)

В случае когда (t,t') — действительная функция, например, равна A(t,t'), наш функционал эквивалентен экспоненциальному фактору в выражении (12.87), и мы получаем эквивалент классического шумового возмущения. Вообще говоря, в квантовомеханических системах — комплексная величина. Важным частным случаем является функция , зависящая только от разности t и t: (t,t')=(t-t'). В этом случае мы имеем дело с окружающей системой, усреднённые свойства которой не зависят от абсолютного времени.

Чтобы облегчить понимание некоторых свойств выражения (12.104), найдём вероятность того, что система q переходит из энергетического состояния n в некоторое другое ортогональное состояние m за время T. Предположим, что очень мало и можно использовать теорию возмущений. Если разложить F, определяемый выражением (12.104), то главный член обратится в нуль из-за ортогональности состояний. Следующий член, линейный по , состоитиз четырёх частей. Одна из них это

_t