Квантовая механика и интегралы по траекториям

_b

.

(2.19)

В результате получим выражение

K(b,a)~

…

[x(t)]dx

₁

dx

₂

…dx

_N-1

.

(2.20)

Интегрирование не производится по x₀ и x_N, так как эти переменные совпадают с фиксированными концами траекторий x_a и x_b. Это выражение формально соответствует соотношению (2.17). Уменьшая , мы можем получить более полное представление множества всех возможных траекторий, соединяющих точки a и b. Однако точно так же, как и в случае интеграла Римана, невозможно достичь предела этого процесса, так как такой предел не существует. Мы снова должны ввести некоторый нормирующий множитель, который, как и следует ожидать, будет зависеть от .

К сожалению, определение такого нормирующего множителя оказывается весьма трудной задачей, и неизвестно, как это делать в общем случае. Однако нам это удаётся сделать для всех задач, которые до сих пор имели практическое значение. Возьмём, например, случай, когда лагранжиан задаётся выражением (2.2). Нормирующий множитель в этом случае равен A^{– N}, где

A=

2ih

m

1/2

.

(2.21)

Как получен этот результат, мы увидим далее (см. § 1 гл. 4). С учётом множителя A переход к пределу имеет смысл, и мы можем написать

K(b,a)=

lim

^{– >0}

1

A

…

e

^(i/h)S[b,a]

dx₁

A

dx₂

A

…

dx_N-1

A

(2.22)

где

S[b,a]=

t_b

t_a

L(x,x,t)dt

(2.23)

представляет собой однократный интеграл вдоль траектории, проходящей, как это показано на фиг. 2.3, через все соединённые прямолинейными отрезками точки x_i.

Фиг. 2.3. Сумма по всем траекториям.

Она определяется как предел, в котором траектория первоначально задаётся лишь координатами x для большого числа фиксированных моментов времени, разделённых очень малыми интервалами длины . Тогда сумма по траекториям равна интегралу по всем этим выбранным координатам. Наконец для определения меры берётся предел при ->0.

Возможно и более изящное определение траектории. Для соединения точек x_i и x_i+1 вместо отрезков прямых линий мы могли бы использовать отрезки классической траектории. Тогда можно было бы сказать, что S — это наименьшее значение интеграла, взятого от лагранжиана по всем траекториям, которые проходят через выбранные точки (x_i,t_i). При таком определении нет необходимости прибегать к каким-то не имеющим физического смысла переходам по отрезкам прямых.

Интеграл по траекториям. Имеется много способов выбрать некоторое подмножество из всех траекторий, проходящих через точки a и b. Применявшийся нами способ, возможно, не является наилучшим с точки зрения математики. Предположим, например, что лагранжиан зависит от ускорения в точках x. В нашем способе построения траектории скорость имеет разрывы во всех точках (x_i,t_i), и, следовательно, ускорение в этих точках бесконечно велико. Это могло бы привести к затруднениям, но в тех немногих примерах, с которыми мы уже имели дело, вполне законной была замена

x=

1

^2

(x

_i+1

– 2x

_i

+x

_i-1

)

(2.24)

Могут быть случаи, когда такая замена непригодна или неточна и использовать наше определение суммы по траекториям становится весьма затруднительно. Такая ситуация возникает уже при обычном интегрировании, если некорректно определение интеграла по Риману, задаваемое равенством (2.18), и приходится обращаться к другим определениям, например к интегралу Лебега.

Необходимость уточнить способ интегрирования вовсе не дискредитирует саму идею. Просто речь идёт о том, что возможные неудобства, связанные с нашим определением суммы по траекториям [см. выражение (2.22)], в конечном счёте могут потребовать формулировки новых определений. Тем не менее сама идея суммирования по всем траекториям, подобно идее обычного интеграла, не зависит от специфики определения и сохраняет смысл, несмотря на недостатки некоторых частных построений. Поэтому, пользуясь менее связывающими обозначениями, мы будем записывать сумму по траекториям как

K(b,a)=

b

a

e

^(i/h)S[b,a]

Dx(t)

(2.25)

и называть её интегралом по траекториям. Это обстоятельство отметим введением знака D вместо оператора дифференциала d. Лишь изредка мы будем возвращаться к выражению типа (2.22).

Задача 2.6. Класс функционалов, на котором можно определить интегралы по траекториям, оказывается неожиданно широким. До сих пор мы рассматривали лишь функционалы типа (2.15). Теперь перейдём к рассмотрению совсем иного типа функционалов, возникающих в одномерной релятивистской задаче. Предположим, что движущаяся по прямой частица может перемещаться только вперёд и назад со скоростью света. Для удобства выберем такие масштабы измерений, чтобы скорость света, масса частицы и постоянная Планка равнялись единице. Тогда в плоскости (x,t) все траектории движения такого осциллятора имеют наклон ±/4, как показано на фиг. 2.4. Амплитуду, соответствующую одной из таких траекторий, можно определить следующим образом: разделим время на малые интервалы длиной и предположим, что изменение направления движения может происходить только на границе этих интервалов, т.е. в моменты времени t=t_a+n, где n — целое число. В такой релятивистской задаче амплитуда перехода вдоль рассматриваемой траектории отличается от амплитуды (2.15); правильным в данном случае будет выражение

=(i)

^R

,

(2.26)

где R — число точек поворота на траектории.

Фиг. 2.4. Траектория релятивистской частицы, движущейся в двух измерениях.

Это зигзагообразная линия с прямолинейными отрезками. Наклон прямых постоянен по величине и различается только знаком в обеих частях зигзага. Амплитуда вероятности для некоторой частной траектории, так же как и ядро, описывающее переход из точки a в точку b, зависит от числа поворотов R на траектории; это следует из выражений (2.26) и (2.27).

В качестве упражнения читатель может использовать это выражение для того, чтобы вычислить ядро K(b,a), суммируя вклады от траекторий с одной, двумя и т.д. точками поворота. Это даст

K(b,a)=

N(R)(i)

^R

,

^R

(2.27)

где N(R) — число возможных траекторий с R точками поворота. Лучше всего вычислять четыре отдельные величины K, а именно: K₊₊(b,a)— амплитуду перехода из точки a, где скорость частицы была положительной (т.е. направленной вдоль оси x), в точку b, в которой её скорость также положительна; K_+-(b,a) — амплитуду перехода из точки a, где частица имела отрицательную скорость, в точку b, куда частица приходит с положительной скоростью; аналогично определены амплитуды K_{– +} и K_{– -}.

Предположим теперь, что время измеряется в единицах h/mc^2. Покажите, что если интервал времени очень велик (t_b– t_a >> h/mc^2), а средняя скорость мала [x_b– x_a << c(t_b– t_a)], то ядро [если не считать множителя exp (imc^2/h)(t_a– t_b)] совпадает с выражением для свободной частицы [см. (3.3)]. Приведённые здесь выражения амплитуды и ядра справедливы для одномерного движения свободной релятивистской частицы, и результат совпадает с решением уравнения Дирака для этого случая.