Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

• setup — задание системы линейных уравнений;

• standardize — приведение заданной системы уравнений или неравенств к стандартной форме неравенств типа «меньше или равно».

6.5.3. Переопределенные функции maximize и minimize

Главными из этих функций являются maximize и minimize, оптимизирующие задачу симплекс-методом. Они записываются в следующих формах:

maximize(f, С)
minimize(f, С)
minimize(f , С, vartype)
maximize(f , C, vartype)
maximize(f , C, vartype, 'NewC', 'transform')
minimize(f , C, vartype, 'NewC', 'transform')

Здесь f — линейное выражение, С — множество или список условий, vartype — необязательно задаваемый тип переменных NONNEGATIVE или UNRESTRICTED, NewC и transform — имена переменных, которым присваиваются соответственно оптимальное описание и переменные преобразования. Ниже даны примеры применения этих функций (файл simplex):

> restart:with(simplex):
Warning, the protected names maximize and minimize have been redefined and unprotected
> minimize(x+y, {4*x+3*y <= 5, 3*x+4*y <= 4}, NONNEGATIVE);

{y=0, x=0}

> minimize(x-y, {4*x+2*y <= 10, 3*x+4*y <= 16}, NONNEGATIVE, 'NC', 'vt');

{y=4, x=0}

> NC;vt;

> maximize(x+y, {4*x+2*y <= 10, 3*x+4*y <= 16}, NONNEGATIVE);

> maximize(x+y, {3*x+2*y <= 5, 2*x+4*y <=4});

> z := 2*x1 - x2 + 3*x3;

z := 2x1 - x2 + 3x3

> cnts1 := [x2+2*x3 <= 1, 2*x1-4*x2+6*x3 <= 3, -x1+3*x2+4*x3 <= 12];

cnts1 := [x2+2x3 ≤ 1, 2x1-4x2+6x3 ≤ 3, -x1+3x2+4x3 ≤ 12]

> sol1 := maximize(z,cnts1,NONNEGATIVE);

При использовании функций minimize и maximize надо не забывать, что это переопределенные функции — аналогичные по названию функции есть в ядре и они реализуют иные методы вычислений. Для возврата к исходному определению функций надо выполнить команду restart.

6.5.4. Прочие функции пакета simplex

Функция basis(C) возвращает базис для системы линейных уравнений С. Например:

> basis([х = 2*z+w, z = 2*y-w]);

[x, z]

Функция convexhull(ps) возвращает выпуклую оболочку множества точек ps. Например:

> convexhull({[0,0], [1,1], [2,-1], [1,1/3],[1,1/2]));

[[0, 0], [2, -1], [1, 1]]

Для определения констант для системы линейных уравнений или неравенств служит функция cterm(C):

> cterm([2*х+y<=6,7*y-z-3=4]);

[6, 7]

Функция define zero(C) возвращает ближайшее ненулевое значение, зависящее от установки переменной Digits:

> define_zero;

.1000000000 10^{– 7}

> Digits:=40;

Digits := 40

> define_zero;

.1000000000000000000000000000000000000000 10^{– 37}

> define_zero(1*10^(-10));

.1000000000000000000000000000000000000000 10^{– 9}

Функция display(C) имеет еще и форму display(C,[x, у, z]). Она задает вывод линейных уравнений и неравенств в матричной форме:

> display({2*x+5*y-z<= 0, 2*w-4*y-z<=2});

Функция dual(f, С, у) имеет следующие параметры: f — линейное выражение, С — множество неравенств и у — имя. Эта функция возвращает сопряженное с f выражение:

> dual(х-y,{2*х+3*y<=5,3*х+6*y<=15}, z);

15z1+5z2, {1 ≤ 3z1+2z2, -1 ≤ 6z1+3z2}

Функция feasible может быть задана в трех формах:

feasible(С)
feasible(С,vartype)
feasible(С,vartype,'NewC','Transform')

Здесь параметр vartype может иметь значения NONNEGATIVE или UNRESTRICTED. Эта функция определяет систему как осуществимую или нет:

> feasible({2*х+3*y<=5, 3*х+6*y<=15), NONNEGATIVE);

true

> feasible({2*х+3*y<=5, 3*х+6*y<=-15}, NONNEGATIVE);

false

Если функция возвращает логическое значение true, то заданная система осуществима, а если false — неосуществима, то есть ни при каких значениях переменных не способна удовлетворить записанным неравенствам и равенствам.

Функция pivot(C, х, eqn) конструирует новую систему с заданным главным элементом:

> pivot({_SL1=5-4*x-3*y,_SL2=4-3*x-4*y),х,[_SL1=5-4*x-3*y]);

Функция pivoteqn(C, var) возвращает подсистему для заданного диагонального элемента С:

> pivoteqn((_SL1 = 5-3*х-2*y, _SL2 = 4-2*х-2*y}, х);

[_SL1 = 5 - 3х - 2y]

Функция pivotvar(f, List) или pivotvar(f) возвращает список переменных, имеющих положительные коэффициенты в выражении для целевой функции:

> pivotvar(x1-2*x2+3*x3-x4);

x1

> pivotvar(x1+2*х3-3*х4, [x4,x3,x1]);

x3

Функция ratio(C, х) возвращает список отношений, задающих наиболее жесткие ограничения:

> ratio([SL1=10-3*x-2*y, SL2=8-2*x-4*y], x);

Функция setup может иметь три формы:

setup(С)
setup(С, NONNEGATIVE)
setup(С, NONNEGATIVE, 't')

Она обеспечивает конструирование множества уравнений с переменными в левой части:

> setup({2*х+3*y<=5,3*х+5*y=15));