Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

• понижая степень полиномов там, где это возможно;

• используя преобразования, способные упростить выражения.

Несмотря на свою гибкость, функция simplify не всегда способна выполнить возможные упрощения. В этом случае ей надо подсказать, в какой области ищутся упрощения и где можно найти соответствующие упрощающие преобразования. С этой целью в функцию simplify можно включать дополнительные параметры.

В качестве параметров могут задаваться имена специальных математических функций и указания на область действия упрощений: BesselI, BesselJ, BesselK, BesselY, Ei, GAMMA, RootOf, LambertW, dilog, exp, ln, sqrt, polylog, pg, pochhammer, trig (для всех тригонометрических функций), hypergeom, radical, power и atsign (для операторов).

Полезен также параметр symbolic, задающий формальные символьные преобразования для многозначных функций, например, таких как квадратный корень (примеры из файла simplify):

> g:=sqrt(х^2);

> simplify(g);

csgn(x)x

> simplify(g,assume=real);

|x|

> simplify(g,assume=positive);

x

> simplify(g,symbolic);

x

Но, чуть иначе:

> g:=sqrt(х^у);

> simplify(g);

> simplify(g,assume=real);

> simplify(g,assume=positive);

> simplify(g,symbolic);

Возможно также применение функции simplify в форме simplify[<name>] где <name> — одно из следующих указаний: atsign, GAMMA, hypergeom, power, radical, RootOf, sqrt, trig.

Ниже даны примеры применения функции simplify:

> simplify(4^(1/2)+3);

5

> simplify((х^у)^z+3^(3),power);

(х^y)^z + 27

> simplify(sin(х)^2+cos(х)^2,trig);

1

> e:=cos(х)^5+sin(х)^4+2*cos(х)^2-2*sin(х)^2-cos(2*х);

е: = cos(x)⁵ + sin(x)⁴ + 2cos(x)²– 2sin(x)²– cos(2x)

> simplify(e);

cos(x)⁵ + cos(x)⁴

> simplify(GAMMA(n+4)/GAMMA(n),GAMMA);

n(n+1)(n+2)(n+3)

> r:=RootOf(х^2-2=0,х):
> simplify(r^2,RootOf);

2

> simplify(1/r,RootOf);

½ RootOf(_Z² - 2)

> simplify(ln(x*y),power,symbolic);

ln(x) + ln(y)

> е:=(-5*b^2*а)^(1/2);

> simplify(e,radical);

> simplify(e,radical,symbolic);

> simplify(GAMMA(n+1)/n!);

1

Действие функции simplify существенно зависит от областей определения переменных. В следующем примере упрощение выражения не произошло, поскольку результат этой операции неоднозначен:

> restart;
> simplify(sqrt(х^4*у^2));

Однако, определив переменные как реальные или положительные, можно легко добиться желаемого упрощения:

> simplify(sqrt(х^4*у^2),assume=positive);

x² у

> simplify(sqrt(х^4*у^2),assume=real);

x²|y|

С помощью равенств можно задать свои правила преобразования, например:

> eq:=x^2+2*x*y+y^2;

eq:=х² +2ху + y²

> simplify(eq,{х=1));

y² + 2y + 1

> simplify(eq,{х^2=х*у, у^2=1});

3хy + 1

> simplify(eq,{х,у});

0

Обратите внимание на то, что указание в списке равенств только левой части равенства означает, что правая часть принимается равной нулю. Если функция simplify не способна выполнить упрощение выражения expr, то она просто его повторяет. Это сигнал к применению опций, уточняющих преобразования.

Сложность упрощаемых выражений зависит от объема ОЗУ и вида интерфейса. Очень большие выражения надо разбивать на подвыражения и работать с ними раздельно.

3.7.2. Расширение выражений — expand

Даже в жизни мы говорим: «не все так просто». Порою упрощенное выражение скрывает его особенности, знание которых является желательным. В этом случае можно говорить о полезности расширения или раскрытия выражения. Функция expand «расширяет» выражение expr и записывается в виде

expand(expr, expr1, expr2, ..., exprn)

где expr — расширяемое выражение, expr1, expr2, …, exprn — необязательные подвыражения — опции. Имеется также инертная форма данной функции — Ехpand(expr). Кроме того, возможно применение операторной конструкции frontend(expans,[expr]).

Функция expand раскладывает рациональные выражения на простые дроби, полиномы на полиномиальные разложения, она способна раскрыть многие математические функции, такие как sin, cos, tan, sinh, cosh, tanh, det, erf, exp, factorial, GAMMA, ln, max, min, Psi, binomial, sum, product, int, limit, bernoulli, euler, abs, signum, pochhammer, polylog, BesselJ, BesselY, BesselI, BesselK, AngerJ, Beta, Hankel, Kelvin, Struve, WeberE и функция piecewise. С помощью дополнительных аргументов expr1, expr2, …, exprn можно задать расширение отдельных фрагментов в expr.

Примеры применения функции expand приведены ниже (файл expand):

> expand((х+2)*(х+3)*(х+4));

x³ + 9х² + 26х + 24

> expand(sin(2*х));

2sin(x)cos(x)

> expand(sin(х+у));

sin(x)cos(y) +cos(x)sin(y)

> expand([(a+b)*(a-b),tan(2*x)]);

> expand((a+d)*(b+d)*(c+d));

abc + abd + adc + ad² + dbc + d²b + d²с = d³