Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> s:=0;
> for i from n by -1 to 0 do s:=s*x+b[i] od;
> s
> end:
– > D[1](f);

proc(x, b, n)

 local i, s, sx;

 sx := 0;

 s := 0;

 for i from n by -1 to 0 do sx

sx := sx×x + s;

s := sx×x + b[i]

 end do;

 sx

end proc

Этот пример показывает реализацию схемы Горнера для полинома b степени n от переменной х. При этом применение оператора дифференцирования возвращает процедуру. Ряд интересных возможностей по вычислению производных предоставляет пакет расширения student.

4.3.4. Импликативное дифференцирование

Иногда подлежащая дифференцированию зависимость задана импликативно, т.е. в виде уравнения f. Для дифференцирования таких зависимостей служит функция, используемая в виде:

implicitdiff(f,у,х)
implicitdiff(f,у,x1,...,xk)

Примеры применения импликативного дифференцирования приведены ниже (файл impldiff):

> f1 := х*у=1:implicitdiff(f1, у, x);

> subs(y=1/x,%);

> f2:=2*х^4-3*х^2*у^2+у^4=16:implicitdiff(f2, у, х);

> f3:=x*cos(у)+y*cos(х)=1:implicitdiff(f3,у,x);

В справке по этой функции можно найти более сложные формы записи этой функции и дополнительные примеры ее применения.

4.3.5. Maplet-вычислитель производных Derivatives

При обучении основам математического анализа удобны обучающие средства на основе Maplet-технологии. Эти новые средства (их не было даже в Maple 9) размещены в позиции Tools меню системы Maple 9.5 при ее применении в стандартном виде. Команда Tools→Tutors Calculus-Single Variables→Derivatives… открывает окно Maple-вычислителя производных, показанное на рис. 4.1.

Рис. 4.1 Окно Maplet-вычислителя производных

В окне можно в интерактивном режиме задать выражение для функции f(x), вычислить производную f'(x) и, нажав кнопку Dispay, получить графики заданной функции и ее производной в заданных пределах изменения х от а до b. При закрытии окна графики появляются в текущей строке вывода системы Maple 9.5.

4.3.6. Maplet-инструмент по методам дифференцирования

При изучении раздела производных в курсе математического анализа особое значение имеют навыки учащегося в пошаговом дифференцировании выражений в аналитическом виде. В то время, как инженера или научного работника часто удовлетворяет конечное выражение при дифференцировании заданного выражения, учащегося не в меньшей (а порою в куда большей) мере интересуют детали промежуточных вычислений.

Такую возможность обеспечивает инструмент Differentiate Methods… по методам аналитического дифференцирования производных. Для открытия его окна надо исполнить команду Tools→Tutors Calculus-Single Variables→Differentiate Methods…. Это окно показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Окно Maplet-инструмента по методам дифференцирования

Окно имеет свое меню, область задания функции Function заданной переменной, область вывода функции и результатов ее преобразований и область с кнопками, позволяющими задавать правила дифференцирования и наблюдать результаты их выполнения. Можно задать выполнение всех шагов дифференцирования сразу по всем шагам (кнопка All Steps) или запустить дифференцирование раздельно по шагам (кнопка Start).

С помощью кнопки Hint можно вызвать советы по дифференцированию и применить их активизацией кнопки Apply Hint. В поле Differentiate Rules (Правила дифференцирования) имеется множество кнопок, позволяющих применить те или иные правила дифференцирования заданного выражения и опробовать их эффективность. Таким образом имеется возможность выполнить дифференцирование в аналитическом виде различными методами, задаваемыми пользователем. Пример на рис. 4.2 показывает дифференцирование функции f(x)=sin(x)*exp(-х). Представлены шаги дифференцирования и конечный результат.

4.4. Вычисление интегралов

4.4.1. Определение интегралов

Интегральное исчисление зародилось из практической необходимости вычисления площадей, объемов и центров тяжести различных фигур. Если есть некоторая функция f(х), то определенный интеграл вида

дает значение площади, ограниченной вертикалями а и именуемыми пределами интегрирования, кривой f(х) и осью абсцисс X. Под площадью надо понимать ее алгебраическое значение, то есть разность между площадью над осью X и под ней. В этом случае ясно, что определенный интеграл может иметь как положительные, так и отрицательные значения.

Если f(x)dx есть дифференциал функции F(x), то

f(x)dx = dF(x).

Функцию F(x) называют первообразной функции f(х). Наиболее общий вид первообразной функции f(x) называют неопределенным интегралом и обозначают как

∫f(x)dx.

Соответственно определенный интеграл определяется как:

В состав этого выражения включена некоторая постоянная интегрирования С, подчеркивающая, что для одной и той же f(х) существует масса первообразных, описываемых одной и той же линией, но смещенных по вертикали на произвольную постоянную. Например, для f(х)=sin(x) имеем

∫sin(x)dx = -sin(x) + С.

Определенный интеграл представляется числом, а неопределенный — функцией. Для их вычисления используются принципиально различные методы. Так, вычисление неопределенного интеграла возможно только в системах символьной математики. А вот для вычисления определенных интегралов используются как символьные, так и численные методы интегрирования.

Встречается ряд специальных видов интегралов. Один из них — интеграл с переменным верхним пределом, представленный в виде:

В данном случае верхний предел представлен функцией y(х).

Следует отметить, что Maple обычно стремиться вычислить определенный интеграл в аналитическом виде, даже если он представляется числом. Если нужно найти заведомо численное значение определенного интеграла, можно воспользоваться численными методами вычисления.

4.4.2. Вычисление неопределенных интегралов

Для вычисления неопределенных и определенных интегралов Maple предоставляет следующие функции: