Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

4.1.6. Пакет вычисления специальных сумм sumtools

Возможности вычисления специальных сумм существенно расширяются при использовании инструментального пакета вычисления специальных сумм sumtools. При его вызове выводится список функций пакета:

> with(sumtools);

[Hypersum, Sumtohyper, extended_gosper, gosper, hyperrecursion, hypersum, hyperterm, simpcomb, sumrecursion, sumtohyper]

Назначение функций данного пакета перечислено ниже:

hypersum(U, L, z, n) и Hypersum(U, L, z, n) — вычисление гиперсумм;

sumtohyper(f, k) и Sumtohyper(f, k) — преобразование сумм в гиперсуммы;

extended_gosper(f, k), extended_gosper(f, k=m..n) и extended_gosper(f, k, j) — реализация расширенного алгоритма Госпера;

gosper(f, k) и gosper(f, k=m..n) — реализация алгоритма Госпера;

hyperrecursion(U, L, z, s(n)) — реализация гиперрекурсионного алгоритма;

hyperterm(U, L, z, k) и Hyperterm(U, L, z, k) — ввод гипергеометрического терма.

4.1.7. Примеры вычисления специальных сумм

Приведем примеры на вычисление специальных сумм с помощью функций пакета sumtools (файл sumtools):

> extended_gosper(k*(k/2)!, k);

> extended_gosper(k*(k/2)!,k,2);

> extendedgosper(k*(k/2)!,k=1..n);

> gosper(k*(k/2)!,k);

FAIL

> gosper(pochhammer(k,n),k);

> hyperrecursion([-n,a],[b],1,f(n));

(-n + a = b + 1)f(n - 1) + (n + b - 1)f(w)

> Hypersum([a,1+a/2,b,c,d,1+2*a-b-c-d+n, -n],
[a/2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-(1+2*a-b-c-d+n),1+a+n],1,n);

Hyperterm([1, 1+a, a-d-c+1, a+1-d-b, a-с+1-b], [1+a-d, 1+a-c, 1+a-b, a-b-c-d+1, 1, n])

> simpcomb(binomial(n,k));

> sumrecursion(binomial(n,k)^3,k, f(n));

– 8(n - 1)²f(n - 2) - (7n² - 7n + 2)f(n - 1) + f(n)n²

> hyperterm([a,b], [c],z,k);

Из этих примеров применение функций данного пакета достаточно очевидно.

4.2. Вычисление произведений членов последовательностей

4.2.1. Основные функции для произведения членов последовательностей

Аналогичным образом для произведений членов f(i) некоторой последовательности, например вида

используются следующие функции:

product(f, k);
product(f, k=m..n);
product(f, k=alpha);
Product(f, k);
Product(f, k=m..n);
Product(f, k=alpha).

Обозначения параметров этих функций и их назначение соответствуют приведенным для функций вычисления сумм. Это относится, в частности, и к применению одиночных кавычек для f и k.

4.2.2. Примеры вычисления произведений членов последовательностей

Примеры применения функций вычисления произведений даны ниже (файл product):

> restart;
> Product(k^2,k=1..5)=product(k^2, k=1..5);

> Product(k^2, k)=product(k^2,k)

> product(а[k],k=1..5);

a₁ а₂ а₃ а₄ a₅

> f:= [1, 2, 3, 4, 5];

f:=[1, 2, 3, 4, 5]

> product(f[k],k=1..4);

24

> product(n+k,k=1..4);

(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n +4)

> Product(n+k,k=1..m)=product(n+k,k=1..m);

> product(k,k=RootOf(x^3-9));

9

Как и в случае вычисления сумм, вычисление произведений возможно как в численной, так и в аналитической форме — разумеется, если таковая существует. Это показывают следующий пример:

> Product(2/i,i=1..infinity)=product(2/i,i=1..infinity);

Нетрудно понять, что при i, стремящемся к бесконечности, перемножаемые члены последовательности стремятся к нулю, а потому к нулю стремится и их произведение.

4.3. Вычисление производных

4.3.1. Определение производной и полного дифференциала

Если f(x) непрерывная функция аргумента х, то производная этой функции

(4.1)

Как известно, значение производной геометрически характеризуется наклоном касательной к графику f(х) в точке x=0. Простейший способ наблюдать построение касательной к заданной точке функции заключается в применении функции showtangent из пакета student. Например, команды

> with(student): showtangent(sin(x), x = 1.7);

строят график синусоиды и касательной к ней в точке х=1.7.

Помимо производной, часто встречается понятие дифференциала

df(x) =f'(x)∙∆x,

то есть произведения производной функции на приращение ее аргумента Δx→0.

Производная от производной f(x), то есть функция f''(x) называется производной второго порядка. Могут быть производные третьего, четвертого и так далее, словом производные высшего порядка. Все математические системы способны вычислять такие производные, как и первую производную f'(x) от функции f(x).