Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Довольно часто встречаются функции ряда переменных, например f(x, у, z, …). В этом случае может идти речь о частных производных по переменным х, у, z, …. Например, частной производной по переменной х будет выражение:

Подобные выражения нетрудно составить и для частных производных по другим переменным. Можно считать, что при вычислении частной производной по какой то переменной остальные переменные рассматриваются просто как константы. Можно также говорить о частных дифференциалах. Полный дифференциал функции многих переменных можно определить как:

Системы символьной математики позволяют вычислять производные как символьной, так и в численной форме.

Выражение (4.1) показывает, что производная f'(x) может быть найдена путем вычисления предела, записанного в (4.1). Этот популярный у математиков метод получил название Δ– метода. В СКМ он используется редко, поскольку они имеют прямые операторы или функции для вычисления производных.

4.3.2. Функции дифференцирования diff и Diff

Для вычисления производных Maple имеет следующие основные функции:

diff(a, x1, х2, ..., xn)
diff(a, [x1, х2, ..., хn])
Diff(a, x1, х2, ..., xn)
Diff(a, [x1, х2, ..., xn])

Здесь а — дифференцируемое алгебраическое выражение, в частности, функция f(x1, х2, хn) ряда переменных, по которым производится дифференцирование. Функция Diff является инертной формой вычисляемой функции diff и может использоваться для естественного воспроизведения производных в документах.

Первая из этих функций (в вычисляемой и в инертной форме) вычисляет частные производные для выражения а по переменным х1, х2, …, хn. В простейшем случае diff(f(x),x) вычисляет первую производную функции f(x) по переменной х. При n, большем 1, вычисления производных выполняются рекурсивно, например, diff(f(x), х, у) эквивалентно diff(diff(f(x), х), у). Оператор $ можно использовать для вычисления производных высокого порядка. Для этого после имени соответствующей переменной ставится этот оператор и указывается порядок производной. Например, выражение diff(f(x),x$4) вычисляет производную 4-го порядка и эквивалентно записи diff(f(x),x,x,x,x). A diff(g(x,y),x$2,y$3) эквивалентно diff(g(x,y),x,x,y,y,y).

Примеры визуализации и вычисления производных (файл diff):

> restart;
> Diff(a*x^n,x)=diff(а*х^n,х);

> Diff(a*sin(b*x),x)=diff(a*sin(b*x),x);

> Diff([sin(x),х^n,ехр(a*x)], x)=diff([sin(x),x^n, exp(a*x)], x);

> Diff(а*х^n,x$3)=diff(а*х^n,x$3);

> Diff([х^2,х^3,х^n],x)=diff([х^2,х^3,х^n],x);

> simplify(%);

Как видно из приведенных примеров, функции вычисления производных могут использоваться с параметрами, заданными списками. Приведенные ниже примеры показывают эти возможности и иллюстрируют дифференцирование функции пользователя для двух переменных:

> restart;
> f(х,у):=cos(х)*у^3;

f(x,y):=cos(x)y³

> Diff(f(х, y), x) = diff(f(x, y), x);

> Diff(f(x, у), y) = diff(f(x, у), y);

> Diff(f(x,y),x,y)=diff(f(x,у),x,y);

> Diff(f(x,y),x$4)=diff(f(x,y), x$4);

> Diff(f(х,у),y$2)=diff(f(х,у), у$2);

> Diff(f(х,у), х$4,у$4)=diff(f(х,у),х$3,у$2);

Получаемые в результате дифференцирования выражения могут входить в другие выражения. Можно задавать их как функции пользователя и строить графики производных.

4.3.3. Дифференциальный оператор D

Для создания функций с производными может также использоваться дифференциальный оператор D. Порою он позволяет создавать более компактные выражения, чем функции diff и Diff. Дифференциальный оператор можно записывать в следующих формах: D(f) или D[i](f), где параметр f — выражение или имя функции, i — положительное целое число, выражение или последовательность. Оператор D(f) просто вычисляет имя производной от f, поскольку в этой форме он эквивалентен unnaply(diff(f(x),x),x). В форме D(f)(x) этот оператор подобен diff(f(x),x).

Приведем примеры дифференцирования функций, заданных только именами, и функций с одним параметром (файл D):

> restart;
> D(cos^2);

– 2 sin cos

> D(exp^2+cos^2+tan+GAMMA);

2exp² - 2sin cos + 1 + tan² + ΨΓ

> D(sin)(x)=diff(sin(x), x);

cos(x) = cos(x)

> D[1](sin*cos);

cos² - sin²

Следующий пример показывает дифференцирование функции пользователя fun с применением дифференциального оператора D и функции diff:

> fun:=(x)->sin(x^2);

fun:= x→sin(x²)

> D(fun)=diff(fun(x),x);

(x→2 cos(x²)x) = 2 cos(x²)x

Дифференциальный оператор можно применять и для дифференцирования функций нескольких переменных по заданной переменной (файл D):

> f := (х, у, z)->х*ехр(у)+ln(z);

f: = (х, у, z) → х е^у + ln(z)

> D[1](f);

(x,y,z) → e^y

> D[2](f);

(x,y,z) → xe^y

> D[3](f);

(x,y,z) → ½

Пример применения дифференциального оператора для функции f, заданной программным объектом-процедурой, представлен ниже:

> restart;
> f:=proc(x,b,n) local i,d,s;