Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

5.6.6. Чебышевская интерполяция

Метод Чебышева был создан для оптимального выбора узлов интерполяции, если это возможно при решении конкретной задачи, и для получения минимально возможной погрешности аппроксимации. Предполагается, что в выборе расположения узлов интерполяции ограничений нет, и предполагается, что узлы выбираются произвольно. Ставится задача о наилучшем выборе узлов. Наилучшими узлами х, следует признать те, для которых выражение max_[a,b]|ω_n(x)| минимально для рассматриваемого класса функций (алгебраических полиномов). Определение этих узлов сводится к нахождению корней полинома, наименее уклоняющихся от нуля на [a, b]. Такой полином порождается полиномом Чебышева первого рода T_n+1.

Полиномы Чебышева определены в интервале [-1,1]. Для перевода интерполяции в интервале [a, b], выполняется линейная замена переменной х:

В качестве узлов интерполяции берутся корни полинома Чебышева:

(5.8)

Тогда погрешность Чебышевской интерполяции определяется выражением:

(5.9)

5.6.7. Сплайновая интерполяция, экстраполяция и аппроксимация

Использование одной интерполяционной формулы для большого числа узлов нецелесообразно, так как при этом интерполяционный полином сильно проявляет свои колебательные свойства, и значение между узлами могут сильно отличаться от значений интерполируемой функции. Одна из возможностей преодоления этого недостатка заключается в применении сплайн-интерполяции.

Наиболее известным и широко применяемым является случай сплайновой интерполяции, когда между двумя точками строится полином n-й степени

(5.10)

который в узлах интерполяции принимает значения интерполируемой функции и непрерывен вместе со своими (n-1)-ми производными. Такой кусочно-непрерывный интерполяционный полином называется сплайном. Его коэффициенты находят из условий в узлах интерполяции — равенства значений сплайна и приближаемой функции, а также равенства (n-1)-й производной соответствующих полиномов. Максимальная по всем частичным отрезкам степень полинома является степенью сплайна.

Одним из наиболее распространенных интерполяционных сплайнов является кубический интерполяционный сплайн. Для вывода уравнения кубического интерполяционного сплайна можно воспользоваться его представлением в виде гибкой линейки, изогнутой таким образом, что она проходит через значения функции в узлах, то есть, является упругой рейкой в состоянии равновесия. Это его состояние описывается уравнением S'''(х)=0, где S'''(х) — четвертая производная. Из этого следует, что между каждой парой соседних узлов интерполяционная формула записывается в виде полинома третьей степени. Этот полином удобно представить следующим образом:

S(x) = а_i + b_i(x-x_i-1) + с(х-х_i-1)² + d_i(x–х_i-1)³, x_i-1≤х≤x_i, i = 1, 2, ..., n.

Система Maple позволяет легко вычислять коэффициенты кубических полиномов. Метод сплайновой интерполяции дает хорошие результаты при интерполяции непрерывных функций с гладкими производными 1-ой и 2-ой степени. При этом кубическая сплайновая интерполяция, построенная по узлам f_i=f(х_i), i=0,1,…,n, будет иметь минимум кривизны по сравнению с любой интерполяционной функцией, имеющей непрерывные первую и вторую производные. Выполнение сплайн-интерполяции функций с резким изменением производных дает, как правило, большие ошибки. Сплайны более высоких порядков, чем третий, используется редко, так как при вычислении большого числа коэффициентов может накапливаться ошибка, приводящая к значительным погрешностям.

По сравнению с другими математическими конструкциями сплайны обладают следующими преимуществами: они обладают лучшими аппроксимирующими свойствами, что при равных информационных затратах дает большую точность или равную точность при менее информационных исходных данных. Для увеличения точности часто уменьшают величину шага интерполяции, что увеличивает число узлов. В случае интерполяционных полиномов это связано с возрастанием их степени, что имеет недостатки. Степень же сплайна не изменяется при увеличении количество узлов интерполяции. Это принципиальный момент теории сплайнов.

5.6.8. Рациональная интерполяция и аппроксимация

Большую точность приближения по сравнению полиномиальным приближением можно получить, если исходную функцию заменить, используя рациональную интерполяцию при которой аппроксимирующая функция ищется как отношение двух полиномов. Наиболее важным свойством рациональных функций является то, что ими можно приближать такие функции, которые принимают бесконечные значения для конечных значений аргумента и даже внутри интервала его изменения.

Итак, при задании f(х₁), …, f(х_n) приближение к f(x) ищется в виде

(5.11)

Коэффициенты а_i, b_i находятся из совокупности соотношений R(х_j)=f(x_j) (j=1,…,n), которые можно записать в виде

Данное уравнение образует систему n линейных уравнений относительно n+1 неизвестных. Такая система всегда имеет нетривиальное решение.

Функция R(x) может быть записана в явном виде в случае n нечетное, если р=q, и n четное, если р-q=1. Для записи функции R(x) в явном виде следует вычислять так называемые обратные разделенные разности, определяемые условиями

и рекуррентным соотношением

Интерполирование функций рациональными выражениями обычно рассматривают на основе аппарата цепных дробей. Тогда интерполирующая рациональная функция записывается в виде цепной дроби

Использование рациональной интерполяции часто целесообразнее интерполяции полиномами в случае функций с резкими изменениями характера поведения или особенностями производных в точках.

5.6.9. Метод наименьших квадратов (МНК)

При обработке экспериментальных данных, полученных с некоторой погрешностью, интерполяция становиться неразумной. В этом случае целесообразно строить приближающую функцию таким образом, чтобы сгладить влияние погрешности измерения и числа точек эксперимента. Такое сглаживание реализуется при построении приближающей функции по методу наименьших квадратов.

Рассмотрим совокупность значений таблично заданной функции f_i в узлах х_i при i=0,1,…,n. Предположим, что приближающаяся функция F(x) в точках х₁, х₂, …, х_n имеет значения

. Будем рассматривать совокупность значений функции f(x) и функции F(x) как координаты двух точек n-мерного пространства. С учетом этого задача приближения функции может быть определена другим образом: найти такую функцию F(x) заданного вида, чтобы расстояние между точками M(f₁, f₂, …, f_n) и

было наименьшим. Воспользовавшись метрикой евклидова пространства, приходим к требованию, чтобы величина