Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

была наименьшей, что соответствует следующему:

(5.12)

то есть сумма квадратов должна быть наименьшей. Задачу приближения функции f(х) теперь можно формулировать иначе. Для функция f(х), заданной таблично, необходимо найти функцию F(x) определенного вида так, чтобы сумма квадратов (5.12) была наименьшей.

Выбор класса приближающихся функций определяется характером поведения точечного графика функции f. Это могут быть линейная зависимость, любые элементарные функции и т.д.

Практически вид приближающей функции F можно определить, построив точечный график функции f(х), а затем построить плавную кривую, по возможности наилучшим образом отражающую характер расположения точек. По полученной кривой выбирают вид приближающей функции.

Когда вид приближающей функции выбран, то последующая задача сводится к отысканию значений параметров функции. Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции с тремя параметрами f=F(x, с, b, с). Тогда имеем

(5.13)

Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций f и F будет иметь вид:

(5.14)

Сумма (5.14) является функцией φ(a, b, с) трех переменных a, b, с. Задача сводится к отысканию ее минимума. Для этого используем необходимое условие экстремума:

или

(5.15)

Решив эту систему (5.15) трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров a, b, с, получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, с). Изменение количества параметров не приведет к изменению сущности метода, а отразится только на количестве уравнений в системе (5.15).

Как следует из начальных условий, найденные значения функции F(x, а, b, с) в точках x₁, х₂, …, х_n будут отличаться от табличных значений y₁, у₂, …, у_n. Значение разностей

f_i– F(x_i, a, b, c,) = ε_i, i=1, 2, …, n

будет определять отклонение измеренных значений f от вычисленных по формуле (5.14). Для найденной эмпирической формулы (5.14) в соответствии с исходными табличными данными можно найти сумму квадратов отклонений

(5.16)

Она, в соответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции и ее найденных параметров (параметры a, b, с), должна быть наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же табличной функции, следуя принципу наименьших квадратов, лучшим нужно считать тот, для которого сумма (5.16) имеет меньшее значение.

5.6.10. Тригонометрическая интерполяция рядами Фурье

При тригонометрической интерполяции используются тригонометрические полиномы — линейные комбинации тригонометрических функций sin(nx) и cos(nx). Этот вид интерполирования применяется для процессов, которые отражают циклические процессы, связанные с периодическими функциями [52–54]. Известно, что такие функции удобно представлять в виде тригонометрического ряда или его частичной суммы с достаточной степенью точности.

Функциональный ряд вида

(5.17)

называется тригонометрическим. Его коэффициенты а_n и b_n — действительные числа, не зависящие от х. Если этот ряд сходится для любого х из промежутка [-π, π], тогда он определяет периодическую функцию f(x) с периодом Т=2π. Ряд вида (5.17) называется рядом Фурье для интегрируемой на отрезке [-π, π] функции f(х), если коэффициенты его вычисляются по следующим правилам:

(5.18)

(5.19)

(5.20)

В практических расчетах, как правило, ограничиваются конечным числом первых членов ряда Фурье. В результате получается приближенное аналитическое выражение для функции f(х) в виде тригонометрического полинома N-го порядка

Но соотношения для вычисления коэффициентов Фурье (5.18)–(5.20) пригодны для случая аналитического задания исходной функции. Если функция задана в виде таблицы, то возникает задача приближенного отыскания коэффициентов Фурье по конечному числу имеющихся значений функции.

Таким образом, формулируется следующая задача практического, гармонического анализа: аппроксимировать на интервале (0, T) тригонометрический полином N-го порядка функцию у=f(х), для которой известны m ее значений у_k=f(х_k) при х_k=kТ/m, где k=0, 1, 2, …, m– 1.

Тригонометрический полином для функции, определенной на интервале (0, Т), имеет вид:

(5.21)

Коэффициенты а_n и b_n определяются следующими соотношениями:

(5.22)

(5.23)

Применяя в соотношениях (5.22)–(5.23) формулу прямоугольников для вычисления интегралов по значениям подынтегральных выражений в точках х_k=kT/m, где k=0, 1, 2, …, m-1, имеем

(5.24)

(5.25)

Таким образом, тригонометрический полином (5.21), коэффициенты а_n и b_n находятся по формулам (5.24)–(5.25), служит решением поставленной задачи. При этом, коэффициенты (2.44)–(2.45) минимизируют сумму квадратов отклонений

В случае, когда m=2N коэффициенты а_n и b_n для n=0, 1, 2, …, N определяется соотношениями (5.24)–(5.25), а коэффициент a_N определяется соотношением: