Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 4: Поверх методологических границ

Рассматривая «парадокс лжеца» 21 , можно заметить, что с точки зрения содержательной логики возможны различные подходы к его пониманию и, следовательно, устранению.

1. Последовательное различение текста и метатекста в высказывании.

2. Признание грамматически правильными только те высказывания, все элементы которых контекстно согласованны. В наиболее яркой форме контекстная несогласованность проявляется в следующей форме записи «парадокса лжеца»: «Высказывание, следующее за данным, истинное. Высказывание, предшествующее данному, ложно».

21

Критянину Эпимениду (VI в. до н.э.) приписывается высказывание: «Все критяне – лжецы».

3. Последовательное различение структуры и оценки в высказывании в духе упомянутой выше работы В. Виндельбандта. При этом оценка не может рассматриваться как предикат, а именно такая ситуация имеет место в «парадоксе лжеца».

4. Принять «самоописывающиеся» выражения как интуитивно допустимый, особый класс выражений и попытаться научиться производить с ним формально-логические операции. Именно эта точка зрения принята в «Gjdel, Escher, Bach» и «Доказуемое и недоказуемое» [Hofstadter, 1979; Манин, 1979].

Мы видим, таким образом, что «разрешение» парадоксов зависит от научной позиции, занимаемой в рамках содержательной логики. Именно эта позиция и должна определять в соответствии с высказанным выше принципом 1 выбор формализма, в котором соответствующие парадоксы не возникают.

Логические парадоксы

Рассмотрим теперь пример так называемого «логического», а не «семантического» парадокса. Наиболее известен он в своей естественно-языковой форме: «Деревенский брадобрей бреет тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами», однако, имеет и теоретико-множественную формулировку [Френкель, Бар-Хиллел, 1966]. Хорошо известно, что это выражение является не логическим парадоксом, а логически противоречивым определением 22 .

22

В «Основании теорем множеств» [Френкель, Бар-Хиллел, 1966, с. 17] это сформулированно так: «Нет такого жителя деревни, который бреет всех тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами – результат, хотя может быть и несколько неожиданный для неподготовленного слушателя, но не более парадоксальный, чем, скажем, тот факт, что нет такого жителя деревни, который был бы одновременно и старше и моложе пятидесяти лет». Заметим, что это легко доказать, используя простую логическую формулу: пусть «y бреет х» выражено как xRy, тогда логическая запись утверждения такова:

[{(¬ xRx) -> xRp} {(xRx)->¬ (xRp}]

iU

где U – множество жителей деревни, РU – брадобрей. Легко видеть, что формула является точным логическим эквивалентом естественно языковой записи и тождество ложно, так как содержит тождественно ложное выражение (¬А->А) (А->¬А) в качестве одного из члена конъюнкции где А=pRp.

Смысл парадокса, по-видимому, не в логической противоречивости высказывания, а в чем-то еще. Френкель и Бар-Хиллел пишут «…это (логическое противоречие. – Я. Д., В. С.) мало способствует уменьшению парадоксальности полученного результата: тот факт, что не может существовать множества, состоящего в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, отнюдь не кажущимся каким-то исключительным, а именно не содержащих себя в качестве элемента – пожалуй не менее противоречит здравому смыслу, чем прямое противоречие» [Френкель, Бар-Хиллел, 1966, с. 17].

Отметим в этом тексте критерий соответствия интуиции: «множество, состоящее в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию» и «не кажущемуся каким-то исключительным».

Вряд ли можно считать четко определенным условием «все множества, не содержащие себя в качестве элемента». Условие «несодержания себя» крайне слабое и опирается на семантически сомнительное использование одного и того же объекта актуально в двух взаимоисключающих ролях – части и целого. Что же касается «не кажущемуся чем-то исключительным», то это утверждение, по-видимому, следует принимать как признание того, что автор не видит этой сомнительности.

Далее в этой же работе подчеркивается: «С самого начала следует уяснить, что в традиционной трактовке логики и математики не было решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела». Этот пассаж следует рассматривать как ясное указание на то, что парадокс Рассела носит не логический, а семантический характер. Действительно, и в приведенном выше фрагменте, он рассмотрен как не соответствующее интуиции противоречие, что, пожалуй, говорит о неразработанности интуиции в этом вопросе, а не о пороках логики, иными словами об отсутствии необходимых семантических категорий для его понимания. Точно такую же критику мы наблюдали выше при рассмотрении «парадокса лжеца». Таким образом, вряд ли целесообразно разделять парадоксы на логические и семантические – все они, по нашему мнению, семантические, т.е. могут быть устранены разработкой семантики, что, однако, является задачей не формальной логики, исследующей формальные системы, а содержательной логики, вырабатывающей новые смыслы и правила работы с ними.

Для содержательной логики парадокс свидетельствует о необходимости выработки некоторых новых различений смысла. После того как такое различение выработано, построение формальной системы, учитывающей это различение, может быть осуществлено в духе принципа 1 и является технической задачей. Каковы бы, однако, ни были смысловые различения в рамках логической семантики, лежащей в основе некоторой формальной системы, могут найтись выражения не интерпретируемые в рамках этой семантики, т.е. воспринимаемые как парадокс. Такие случаи должны служить побудительным мотивом не просто для построения новых формальных систем, в которых подобные парадоксы не появляются, но и, главным образом, для прояснения и уточнения семантики понятий, на которой строится парадокс. Без разработки новой семантики оперирование с формальными системами превращается в некий род «гадания», т.е. в средство стимулирования интуиции.

Мы видим, таким образом, что на первый план в исследованиях по формальной логике выдвигается вопрос о зависимости доказательных возможностей формальной системы от ее выразительных средств, т.е. от ее базисной семантики и эксилицированных в рамках построенного формализма различений смысла.

Парадоксы логического вывода

Мы можем констатировать, что в основе построения формальной логики лежит идея, состоящая в том, что строгость в рассуждениях может быть достигнута упрощением семантики и неполным различением используемых смыслов, но скомпенсированных механичностью вывода. При этом под правилами вывода понимаются правила знаковой подстановки.

Существенное упрощение семантики знака импликации как истинностной таблицы по сравнению с его естественно-языковой интерпретацией «если – то» немедленно привело к появлению парадоксов материальной импликации, замеченных Льюисом и с тех пор многократно обсуждаемых. Однако все эти обсуждения касались в основном построения формальных систем с правилами логического следования, уничтожающими парадоксы материальной импликации, и лишь в малой степени касались вопросов собственно семантических. Так, например, неклассическая теория логического следования, рассмотренная в «Общей теории логического следования» [Сидоренко, 1973] рассматривает высказывания как логические атомы, обладающие истинностными значениями «истина» или «ложь», а сама теория строится с помощью некоторых ограничений, наложенных на структуру формул. «Формула xy является доказуемой: 1. В S₁ если и только если x->y – тавтология двузначной логики, такая, что в y нет пропозициональных переменных, отсутствующих в x (сильное следование); 2. В S₂ если и только если x->y – тавтология и при этом x и y имеют по крайней мере одну общую переменную (ослабленное следование); 3. В S₃ если и только если x-> y тавтология и при этом в х нет переменных, отсутствующих в y» [Сидоренко, 1973, c. 26].

В теории логического следования утверждение xy верно, если и только если истинность х суть достаточное условие истинности y, а истинность y – необходимое условие истинности х. Теория логического следования избавляет от некоторых парадоксальных формул материальной импликации, но некоторые интуитивно-парадоксальные формулы все же остаются.

Вместе с тем существующие «неклассические» теории логического следования несвободны от того же недостатка, что и классические. Они пренебрегают исследованием семантики естественно-языковой связки «если… то». Между тем такое исследование показывает наличие модальности в этой связке, а также наличие в ней не только оценочной, но и концептуальной связи. Вывод в математических рассуждениях – это утверждение о правилах трансформации семантических структур, или структур знания. Распространения же оценки с одного математического выражения на другое без анализа его содержания – чисто формальный прием, на основе которого нельзя ожидать получения хотя бы минимального соответствия формального вывода с интуитивным пониманием результативного умозаключения. Это в настоящее время стало совершенно очевидным в связи с развитием теории искусственного интеллекта.

Суммируя сказанное, мы можем обнаружить в использовании формальных языков следующие особенности:

1. Стремление к упрощению знаковых средств.

2. Переход от знаковой «избыточности» по отношению к смыслу к знаковой недостаточности, резко поднимающее важность знания «имплицитных» способов понимания существенной зависимости знака от контекста.

3. Значительная аграмматичность.

4. Тенденция рассматривать формальную логику как «междисциплинарный язык науки» особенно четко проявившаяся у последователей «Венского кружка».