Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Если вы когда-нибудь слушали лекции по дифференциальному исчислению, то все это вам хорошо знакомо. Дифференциальное исчисление в действительности начинается с такого утверждения: из любой функции fможно произвести другую функцию g, которая выражает наклон функции fпри любом ее аргументе. Если f— это ln x, то g— это 1/ x. Произведенная таким образом функция называется, как ни странно, производной функции f. Например, 1/ x— это производная функции ln x. Если вам дали какую-то функцию f, то процесс нахождения ее производной называется дифференцированием.

Дифференцирование — действие, которое подчиняется некоторым простым правилам. Например, оно прозрачно для нескольких основных арифметических операций. Если производная функции f— это g,то производная функции 7 f —это 7 g.(Так что производная от 7•ln xравна 7/ x.) Производная суммы f + g —это производная функции fплюс производная функции g.Правда, все не совсем так для умножения: производная произведения fи g неравна произведению производной функции fна производную функции g. [58]

58

Надо полагать, что автор сознательно (и, скорее всего, после некоторых размышлений) остановился перед формулировкой так называемого правила Лейбницадля производной произведения. Последуем его примеру и не будем приводить это замечательное правило, обладающее глубоким математическим смыслом, выходящим за рамки собственно математического анализа. (Примеч. перев.)

Единственные функции, кроме логарифма, производные которых нам понадобятся в этой книге, — это простые степенные функции x ^N. Приведем без доказательства тот факт, что для любого числа Nпроизводная функции x ^Nесть функция Nx ^N-1.Таблица 7.1 дает некоторые производные степенных функций.

Функция	Производная
x ^– 3	– 3 x ^– 4
x ^– 2	– 2 x ^– 3
x ^– 1	– x ^– 2
x ^0	0
x ^1	1
x ^2	2 x
x ^3	3 x ^2

Таблица 7.1.Производные функций x ^N.

Конечно, x ⁰— это просто единица, а график этой функции — горизонтальная прямая. У нее нет наклона — точнее, нулевой наклон. Дифференцирование любого фиксированного числа дает нуль. А x ¹— это просто x, график же представляет собой прямую, идущую по диагонали вверх и покидающую рисунок через правый верхний угол. Наклон ее повсюду равен 1. Заметим, что нет такой степенной функции, производная которой была бы равна x ^{– 1}, хотя x ⁰вроде бы стоит на правильном месте, чтобы дать такую производную. Это неудивительно, поскольку мы уже знаем, что производная ln xесть как раз x ^{– 1}. Это еще одно свидетельство того, что ln xкак будто пытается выдать себя за x ⁰.

VII.

Вы, должно быть, помните мои слова о том, что математики обожают все обращать. Если задано выражение Pчерез Q, то как выразить Qчерез P? Именно так мы исходно и получили логарифмическую функцию — как обращение показательной функции. Если a = e ^b, тот как найти bчерез a? Как ln а.

Так вот, предположим, что мы продифференцировали функцию fи получили функцию g.То есть gпредставляет собой производную функции f.А fпредставляет собой… (что именно?!) функции g? В чем состоит обращение дифференцирования? Производная ln x— это 1/ x, так что ln x— это… (что?) функции 1/ x? Ответ: интеграл,вот что. Обращение производной — это интеграл, а обращение дифференцирования — это интегрирование. Поскольку вся эта деятельность прозрачна для умножения на фиксированное число, переворачивание таблицы 7.1 вверх ногами и некоторая ее «доводка» дадут нам обратную операцию, которая и представлена в таблице 7.2. И вообще, если только Nне равно -1, то интеграл от функции x ^Nравен x ^N+1 /(N + 1 ).(Взгляд на таблицу еще раз показывает, как функция ln xизо всех сил старается вести себя как функция x ⁰, каковой она, конечно, не является).

Функция	Интеграл
x ^– 3	– ^1/ 2 x ^– 2
x ^– 2	– x ^– 1
x ^– 1	ln x
x ^0	x
x ^1	^1/ 2 x ^2
x ^2	^1/ 3 x ^3
x ^3	^1/ 4 x ^4

Таблица 7.2.Интегралы функций x ^N.

Если производные годятся для того, чтобы выражать наклон функции — т.е. скорость, с которой функция изменяется в данной точке, — то для чего же годятся интегралы? Ответ: для нахождения площадей под графиками.

Рисунок 7.3.Для чего пригодно интегрирование.

Функция, показанная на рисунке 7.3, а это в действительности функция 1/ x ⁴, т.е., другими словами, x ^{– 4}, — ограничивает собой некоторую площадь между аргументами x = 2 и x = 3. Чтобы найти эту площадь, сначала надо найти интеграл от x ^{– 4}. Согласно приведенному выше общему правилу, этот интеграл равен - ¹/ ₃ x ^{– 3}, т.е.
– 1/(3 x ³). Эта функция, как и всякая другая, имеет значение для каждого xиз своей области определения. Чтобы найти площадь между аргументами 2 и 3, надо вычислить значение интеграла при аргументе 3, затем вычислить значение интеграла при аргументе 2, а потом вычесть второе значение из первого.

При x = 3 значение функции -1/(3 x ³) равно - ¹/ ₈₁, при x = 2 оно составляет - ¹/ ₂₄. Вычитаем, не забывая, что вычесть отрицательное число — это все равно что прибавить соответствующее положительное: - ¹/ ₈₁– (- ¹/ ₂₄) = ¹/ ₂₄– ¹/ ₈₁, что равно ¹⁹/ ₆₄₈, т.е. примерно 0,029321.

У математиков есть специальный способ для записи всей этой процедуры:

, что читается как «интеграл от икс в минус четвертой степени по дэ-икс от двух до трех». (Не слишком озадачивайтесь этим самым «по dх» — назначение этих слов состоит в указании, что именно xявляется основной переменной, с которой мы работаем, и именно ее интеграл надо найти. Если под знаком интеграла окажутся еще другие переменные, то они будут там присутствовать праздно, интегрирование ведется не по ним. В главе 19 у нас появится такой пример.)

Далее. Иногда оказывается возможным отправить правый конец интегрирования на бесконечность, но при этом получить конечную площадь. Это напоминает ситуацию с бесконечными суммами: если значения ведут себя должным образом, такие суммы могут сходиться к конечному значению. То же и здесь. У функций, которые ведут себя должным образом, площадь под кривой может оказаться конечной, несмотря даже на то, что область бесконечно длинная. Интегралы связаны с суммами на глубинном уровне. Даже знак интеграла, впервые использованный Лейбницем в 1675 году, представляет собой вытянутое S, обозначающее «сумму».