Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Мораль здесь в том, что бесконечный ряд может определять только часть функции; или, используя подобающие математические термины, бесконечный ряд может определять функцию только на части ее области определения. Остальная часть функции может где-то прятаться, ожидая, пока ее не вытащат на свет с помощью фокуса типа того, что мы применили к S(x).

IV.

Это приводит к очевидному вопросу: а не обстоит ли дело подобным же образом и с дзета-функцией? Не случилось ли так, что бесконечная сумма, которую мы использовали для дзета-функции, — выражение (9.1) — описывает только часть этой функции? И у этой функции есть что-то еще, что нам только предстоит открыть? Может ли область определения дзета-функции

оказаться больше, чем просто «все числа, большие 1»?

Конечно может. Иначе зачем бы мы тут стали влезать во все эти подробности? Да, дзета-функция имеет значения при аргументах, меньших 1. На самом деле, как и функция 1/(1 - x), она имеет значения при всехчислах за единственным исключением x= 1.

Сейчас подходящий момент, чтобы привести график дзета-функции, который продемонстрировал бы все ее свойства в широком интервале значений. К сожалению, это невозможно. Как уже упоминалось, кроме как для простейших функций, обычно нет хорошего и надежного способа показать функцию во всем ее великолепии. Близкое знакомство с функцией требует времени, терпения и тщательного изучения. Можно, однако, изобразить дзета-функцию по кускам. На рисунках с 9.3 по 9.10 показаны значения (s)для некоторых аргументов, находящихся слева от s = 1, хотя для этого потребовалось выбрать свой собственный масштаб на каждом графике. Понять, где мы находимся, можно, руководствуясь подписанными аргументами (на горизонтальной оси) и значениями (на вертикальной оси). При обозначении масштаба m указывает на миллион, tr на триллион, mtr обозначает миллион триллионов, a btr — миллиард триллионов.

Коротко говоря, когда sлишь немного меньше единицы (рисунок 9.3 ), значения функции очень большие по величине и отрицательные — как если бы при движении на запад при пересечении линии s = 1 значения внезапно переметнулись из бесконечности в минус бесконечность. Если продолжить путешествие по рисунку 9.3 — т.е. устремлять sближе и ближе к нулю, — то подъем вверх радикально замедляется. Когда sравно нулю, (s)равна - ¹/ ₂. При s = -2 кривая пересекает ось s, т.е. (s)равна нулю.

Рисунок 9.3.

Затем (мы по-прежнему двигаемся на запад, добравшись теперь до рисунка 9.4) график взбирается на относительно скромную высоту (в действительности до 0,009159890…), а после этого поворачивает вниз и снова пересекает ось при s = -4. График попадает в неглубокую впадину (-0,003986441…), а после нее снова взбирается вверх и пересекает ось при s = -6. Еще один невысокий пик (0,004194…), спуск до пересечения с осью при s = -8 и далее в несколько более глубокую впадину (-0,007850880…), затем пересечение с осью в точке -10, после чего уже довольно заметный пик (0,022730748…), пересечение с осью при s = -12, впадина поглубже (-0,093717308…), пересечение с осью при s = -14 и т.д.

Рисунок 9.4.

Дзета-функция равна нулю при каждом отрицательном четном числе, а по мере продвижения на восток (рисунки от 9.5 до 9.10) последовательные пики и впадины быстро делаются все более и более значительными. Последняя показанная впадина расположена при s = -49.587622654 …, а глубина ее составляет около 305 507 128 402 512 980 000 000. Сами видите, как нелегко изобразить дзета-функцию на одном графике.

Рисунок 9.5.

Рисунок 9.6.

Рисунок 9.7.

Рисунок 9.8.

Рисунок 9.9.

Рисунок 9.10.

V.

Ho как я получил все эти значения (s)для s, меньших 1? Мы уже видели, что бесконечный ряд из выражения (9.1) для этого непригоден. А что пригодно? Если бы ради спасения своей жизни мне пришлось вычислить значение (-7,5), как бы я к этому подступился?

Я не могу объяснить этого в полной мере, потому что такое объяснение требует слишком значительного погружения в математический анализ. Но я попробую передать общую идею. Сначала определим некоторую новую функцию, используя бесконечный ряд, слегка отличный от ряда в выражении (9.1) . Это – функция; (читается «эта») — седьмая буква греческого алфавита. Определим – функцию как

Грубая прикидка подсказывает, что у этой функции перспективы сходимости лучше, чем у выражения (9.1) . Вместо непрестанного прибавления чисел здесь мы по очереди то прибавляем, то вычитаем, так что каждое следующее число до некоторой степени сокращает вклад предыдущего. Так оно и выходит. Математики в состоянии доказать — хотя здесь мы этим заниматься не будем, — что этот новый бесконечный ряд сходится всегда, когда sбольше нуля. Это существенное улучшение по сравнению с выражением (9.1) , которое сходится, только когда sбольше единицы.

Но какая нам от всего этого польза в отношении дзета-функции? Для начала заметим, что в силу элементарных алгебраических правил A - B + C - D + E - F + G - H + …равно (A + B + C + D + E + F + G + H + …)минус 2x (B + D + F + H + …). Поэтому функцию (s)можно переписать как

минус

Первая скобка — это, конечно, (s). Вторую скобку легко упростить, пользуясь 7-м правилом действий со степенями: (ab) ⁿ = a ⁿb ⁿ. Таким же образом каждое из этих четных чисел можно разбить в произведение вида

, после чего можно вынести

в качестве множителя перед всей скобкой. А что останется в скобке? Там останется (s)! Коротко говоря,

или, переписав это «наоборот» и слегка причесав, получаем

Вот. Это означает, что если нам удастся узнать какое-то значение (s), то мы немедленно будем знать и значение (s). А поскольку можно узнать значения (s)между 0 и 1, можно получить и значение (s)в этом промежутке, несмотря на то что «официальный» ряд для (s)там не сходится.

Пусть, например, sравно ¹/ ₂. Если сложить 100 членов ряда для ( ¹/ ₂), то получится 0,555023639…; если сложить 10 000 членов, получится 0,599898768…. В действительности значение ( ¹/ ₂) составляет 0,604898643421630370…. (Существуют определенные приемы позволяющие вычислять такое без необходимости сложения мириад членов.) Вооруженные всем этим, мы можем вычислить значение ( ¹/ ₂) оно оказывается равным -1,460354508…, что выглядит очень правдоподобно, если судить по первому графику из приведенного выше набора.