Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Смотрите: предположим, что вместо того, чтобы останавливаться на тройке, мы бы продолжили интегрирование до x = 100. Тогда, поскольку куб числа 100 равен 1 000 000, наше вычисление приобрело бы вид:

(- ¹/ _{3 000 000}) - (- ¹/ ₂₄) = ¹/ ₂₄– ¹/ _{3 000 000}.

Ясно, что если бы мы пошли еще дальше, то второе слагаемое стало бы еще меньше. По мере того как мы спешим к бесконечности, оно постепенно угасает, стремясь к нулю, и у нас есть полное право написать:

Стоит заметить, что, когда интеграл используется для вычисления площади, xисчезает из ответа: вместо xподставляются числа и в ответе получается число.

Вот и все. Клянусь, это все, что нам понадобится из дифференциального и интегрального исчисления. И поскольку ничего нового вводиться не будет, пользоваться дифференциальным и интегральным исчислением мы начнем прямо сейчас. С их помощью мы определим новую функцию, которая чрезвычайно важна в теории простых чисел и дзета-функции.

VIII.

Сначала рассмотрим функцию 1/ln t. Ее график показан на рисунке 7.4 . Обозначение для аргумента заменено с xна tпо той причине, что букве xотведена другая роль, чем просто быть бессловесной переменной.

На рисунке затемнена некоторая область под графиком, поскольку мы сейчас устроим небольшое интегрирование. Как только что объяснялось, интегрирование — это способ вычислить площадь под графиком функции. Сначала надо найти интеграл от интересующей нас функции, а потом взять калькулятор. Итак, каков же интеграл от функции 1/ln t?

К сожалению, в домашнем хозяйстве нет обычной функции, которая позволила бы выразить интеграл от 1/ln t. Но интеграл этот весьма важен. Он снова и снова появляется в исследованиях, связанных с Гипотезой Римана. Поскольку нежелательно писать

всякий раз, как потребуется эта монструозная конструкция, мы попросту определим новую функцию, выражаемую этим интегралом, и выдадим ей свидетельство, что это добропорядочная и уважаемая функция, ни в чем не уступающая другим своим коллегам.

Рисунок 7.4.Функция 1/ln t.

У этой новой функции есть имя: ее зовут интегральный логарифм. Для нее обычно используется обозначение Li( x). (Иногда пишут li( х).) Она определена как функция, выражающая площадь под кривой — то есть под графиком функции 1/ln t— от нуля до x. [59]

59

Есть два способа определения Li (x) — к сожалению, оба достаточно распространенные. В данной книге я использую «американское» определение, которое приводят Абрамовиц и Стеган в своем классическом «Справочнике по специальным функциям», опубликованном в 1964 г. Национальным бюро стандартов. В этом определении интеграл берется от 0 до x; в этом же смысле использовал Li( x) и Риман. Но многие математики — среди них великий Ландау (см. главу 14.iv) — предпочитают «европейское» определение, в котором интеграл берется от 2 до x, чтобы избежать неприятностей при x= 1. Два приведенных определения различаются на 1,04516378011749278…. В компьютерной программе Mathematica реализовано американское определение.

Здесь не обошлось без некоторой ловкости рук, потому что у функции 1/ln tнет значения при t = 1 (из-за того что логарифм единицы равен нулю). Я обойду эту сложность, не углубляясь в нее, — просто заверю вас, что имеется некоторый способ привести все в порядок. Надо еще заметить, что при вычислении интегралов области ниже горизонтальной оси считаются отрицательными, так что по мере увеличения tобласть справа от 1 «тратится» на сокращение области слева от 1. Другими словами, Li( x) выражается затемненной областью на рисунке 7.4 , причем отрицательный вклад в площадь, набираемый слева от t = 1, гасится положительным вкладом от площади справа от t = 1 (когда xлежит справа).

На рисунке 7.5 показан график функции Li( x). Мы видим, что она принимает отрицательные значения, когда xменьше единицы (поскольку соответствующая площадь на рисунке 7.4 дает отрицательный вклад), но по мере того, как xуходит направо от 1, положительный вклад в площадь постепенно сокращает отрицательный, так что Li( x) возвращается из отрицательной бесконечности, достигает нуля (т.е. отрицательный вклад в площадь полностью сокращается) при аргументе x= 1,4513692348828…, а после этого уже постоянно возрастает. Наклон этой функции в каждой точке равен, конечно, 1/ln x. А это, как мы видели в главе 3.ix, есть вероятность того, что целое число в окрестности числа xокажется простым. [60]

60

Неплохое приближение к Li (N)можно получить, складывая 1/ln 2, 1/ln 3, 1/ln 4, …, 1/ln N.Если, например, взять такую сумму для N, равного миллиону, то результат будет равен 78 627,2697299…, тогда как значение интегрального логарифма есть 78 627,5491594…. Так что сумма дает приближение, которое недобирает лишь 0,0004 процента. Этот интеграл вполне оправдывает свое обозначение в виде вытянутой буквы S, указывающей на «сумму».

Рисунок 7.5.Функция Li (x).

Именно поэтому данная функция так важна в теории чисел. Дело в том, что по мере того, как Nделается все больше и больше, мы имеем Li (N)~ N/ln N.Но ТРПЧ утверждает, что (N) ~ N/ln N.Секундное размышление показывает, что знак волны транзитивен — т.е. что если P ~ Q, a Q ~ R,то должно быть и P ~ R.Так что если ТРПЧ верна — а мы знаем, что это так, она была доказана в 1896 году, — то должно быть верно и (N) ~Li (N).

Это не просто верно. Это, в некотором роде, еще вернее.Я хочу сказать, Li (N)дает на самом деле лучшую оценку функции (N), чем N/ln N.Намного лучшую. Таблица 7.3 показывает, почему Li (x)играет центральную роль в нашем исследовании.

Таблица 7.3.

На самом деле ТРПЧ чаще всего формулируют как (N) ~Li( N), а не как (N) ~ N/ln N.Поскольку знак волны транзитивен, два утверждения эквивалентны, как можно видеть из рисунка 7.6. Из работы Римана 1859 года следует и точное, хотя и не доказанное, выражение для (N), и во главе этого выражения стоит Li (x).

ТРПЧ (улучшенный вариант)

(N) ~Li (N)

Отметим еще одно обстоятельство, связанное с таблицей 7.3 . Для всех приведенных там значений Nфункция N/ln Nдает заниженную оценку для (N), а функция Li (N) — завышенную. Оставим это замечание без комментариев до тех пор, пока оно нам не понадобится.

Рисунок 7.6.ТРПЧ.

Глава 8. Не лишено некоторого интереса

I.

До сих мы интересовались далекими предпосылками Гипотезы Римана — предысторией Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ) и работы Римана 1859 года, где Гипотеза и была впервые высказана. В данной главе мы обратимся к непосредственным истокам той работы. Вообще-то здесь переплетены две истории: Бернхарда Римана и Геттингенского университета в 1850-х годах: в придачу к этому мы предпримем короткие путешествия за национальным колоритом в Россию и Нью-Джерси.