Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Однако запись результата фон Коха в этом слегка ослабленном виде ( x ^1/2+ ) хороша тем, что наводит на размышления. Риман был почти прав в том же смысле, в каком логарифмическая функция есть почти x ⁰; порядок величины есть не х ^1/2, а x ^1/2+ . Если учесть, какие средства имелись у него в наличии, каким было общее состояние знания в данной области и какие численные данные были доступны в то время, то риманово x ^1/2все равно должно считаться прозрением потрясающей глубины. [136]

136

В этой области ведется немало исследований. Весьма вероятно, что на самом деле (x)= Li (x)+ ( x), что, возможно, и имел в виду Риман в своем замечании насчет «порядка величины». Однако мы ни в какой мере не близки к доказательству этого факта. Некоторые исследователи, между прочим, предпочитают обозначение ( x ^1/2+ ), чтобы подчеркнуть, что постоянная, подразумеваемая в определении Обольшого, зависит от . Если использовать это обозначение, то логика раздела 15.iii слегка изменяется. Заметим, что квадратный корень из Nпримерно в два раза короче (я имею в виду, что он содержит примерно в два раза меньше цифр), чем N.Отсюда следует (хотя я и не буду останавливаться ради подробного доказательства), что Li ^{– 1}( N) дает для N-го простого числа правильный результат примерно до половины длины (примерно первая половина цифр оказывается правильной). Выражение Li ^{– 1}( N) здесь надо понимать в смысле обратной функции, как в главе 13.ix, следующим образом: «число К, для которого Li( K) = N». Миллиардное простое, например, есть 22 801 763 489, a Li ^{– 1}(1 000 000 000) равно 22 801 627 415, где мы видим пять, почти шесть правильных цифр из одиннадцати.

Вводя большое, я начал с истории, так что сейчас, прощаясь с ним, расскажу еще одну. Суть ее в том, что математики, как и другие специалисты, иногда любят напустить туману, чтобы отпугнуть и смутить профанов.

На конференции в Курантовском институте летом 2002 года (см. главу 22) я разговаривал по поводу своей книги с Питером Сарнаком. Питер — профессор математики в Принстонском университете и специалист по теории чисел. Я упомянул, что пытаюсь придумать, как объяснить большое тем читателям, кто с ним незнаком. «О, — сказал Питер, — вам надо бы поговорить с моим коллегой Ником (т.е. Николасом Кацем — он тоже профессор в Принстоне, но занимается в основном алгебраической геометрией). Ник ненавидит большое. Никогда его не использует». Я это проглотил, но взял на заметку, рассчитывая, что смогу придумать, как это использовать в книге. В тот же вечер мне случилось разговаривать с Эндрю Уайлсом, который очень хорошо знает и Сарнака, и Каца. Я упомянул нелюбовь Каца к большому. «Чепуха, — сказал Уайлс, — они просто над вами потешаются. Да Ник все время его использует». И будьте уверены, Кац использовал его в лекции на следующий же день. Своеобразное чувство юмора у математиков.

IV.

Оставим большое. Теперь перед нами функция Мебиуса. Есть несколько способов ввести функцию Мебиуса. Подойдем к ней со стороны Золотого Ключа.

Возьмем Золотой Ключ и перевернем его вверх ногами, т.е. возьмем обратную величину к каждой стороне равенства в выражении (7.2) . Очевидно, если A = Bи при этом ни A,ни Bне равны нулю, то 1 /A =1 /B.Получаем (15.1)

Теперь раскроем скобки в правой части. На первый взгляд, это сильно сказано: как-никак, сомножителей в скобках бесконечно много. На самом деле процедура требует несколько большего внимания и обоснования, чем мы можем здесь ей уделить, но в конце концов мы получим полезный и верный результат, так что в данном случае цель оправдывает средства.

Раскрытие скобок все мы изучали в курсе элементарной алгебры. Чтобы перемножить (а + b)(p + q), сначала умножаем aна (p + q),что дает ар + aq.Затем умножаем bна (p + q),что дает bp + bq.А потом, поскольку в скобках у нас aплюс b, мы складываем вместе то, что получилось, и окончательный ответ имеет вид ap + aq + bp + bq. Если надо перемножить три скобки (а + b)(p + q)(u + v),то повторение этих действий дает apu+ aqu + bpu + bqu + apv + aqv + bpv + bqv.Перемножение четырех скобок (а + b)(p + q)(u + v)(x + у)дает

apux + aqux + bpux + bqux + apvx + aqvx + bpvx + bqvx + apuy + aquy + bpuy + bquy + apvy + aqvy + bpvy + bqvy. (15.2)

Грандиозность того, что получается, начинает внушать некоторые опасения. А ведь нам предстоит перемножить бесконечное число скобок! Фокус состоит в том, чтобы посмотреть на это дело глазами математика. Из чего составлено выражение (15.2) ? Ну, это сумма некоторого числа членов. Как эти члены выглядят? Выберем наугад какой-нибудь один из них, скажем aqvy. Сюда входит aиз первой скобки, qиз второй, vиз третьей и yиз четвертой. Это произведение, составленное из чисел, выбранных по одному из каждой скобки. И все выражение целиком получается в результате всех возможных комбинаций того, как мы выбираем эти числа из скобок.

Как только вы смогли это увидеть, перемножение бесконечного числа скобок больше не проблема. В ответе будет сумма — разумеется, бесконечная — членов, каждый из которых получен путем выбора одного числа из каждой скобки и перемножения всего, что выбрали. Если сложить результаты всех таких возможных выборов, то и получится ответ. Однако в том виде, как эта процедура описана, она все еще выглядит несколько устрашающей. Согласно сказанному, каждый член в нашей бесконечной сумме есть бесконечное произведение. Да, так оно и есть, но, поскольку каждая скобка в правой части выражения (15.1) содержит 1, наша жизнь делается приятнее за счет того, что мы будем выбирать бесконечное число единиц и лишь конечное число не-единиц. В конце концов, поскольку каждый не-единичный член в каждой скобке есть число между - ¹/ ₂и 0, перемножение бесконечно большого числа таких членов дает результат, величина которого (я имею в виду — без учета знака) заведомо не больше, чем ( ¹/ ₂) , а это равно нулю! Теперь смотрите, как я построю бесконечную сумму.

Первый член в бесконечной сумме: берем 1 из каждой скобки. Это даст бесконечное произведение 1x1x1x1x1x…, значение которого есть, конечно, просто 1.

Второй член: берем 1 из всех скобок, кроме первой. Из первой же возьмем

. Это даст бесконечное произведение

x1x1x1x1x…, которое равно просто

.

Третий член: берем 1 из каждой скобки, кроме второй. А из второй возьмем

. Это даст бесконечное произведение 1x

x1x1x1x…, что равно просто

.

Четвертый член… Я думаю, понятно, что, если брать 1 из каждой скобки, кроме n– й, мы получим слагаемое равное

, где p — n– е простое число. Итак, получилась бесконечная сумма вида (15.3):

Но это еще не конец. При перемножении скобок возникает сумма всех возможных членов,получаемых взятием одного числа из каждой скобки. Предположим, мы выбрали

из первой скобки,

из второй и 1 из всех остальных. Это дает

x

x1x1x1x…, что равно

. Похожие вещи мы получим из каждой возможной пары выборов не-единиц. Выбирая из третьей скобки

и

из шестой, а единицы из всех остальных, получаем член, равный

.

(Заметим, что здесь работают два простых правила арифметики. Одно — это правило знаков, гласящее, что минус умножить на минус дает плюс, а другое — 7-е правило действий со степенями, согласно которому (xxy) ⁿ= x ⁿxy ⁿ.)

Так что наряду с членами, уже собранными в выражении (15.3) , имеется новый набор, каждый член в котором происходит из каждой пары простых чисел, как 5 и 13, и которые все входят со знаком плюс. Таким образом, выражение (15.3) разрослось до такого:

где каждое число во второй строке есть произведение двух различных простых.

А ведь мы едва начали нашу деятельность по перемножению бесконечного числа скобок. Следующий шаг состоит в том, чтобы перебрать все возможные способы выбрать три не-единицы (при всех остальных единицах). Например, 1x

x1x1x

x

x1x1x…, из чего возникает

.Теперь результат разрастается до

где каждое число в третьей строке есть произведение трех различных простых.

В предположении, что мы продолжаем так поступать, а также в предположении, что получающиеся члены можно переставлять, как мы пожелаем, выражение (15.1) превращается в следующее (15.4):

Натуральные числа в правой части — это… что? Это заведомо не все натуральные числа: 4, 8, 9 и 12 там отсутствуют. Но и не простые: присутствующие там 6, 10, 14 и 15 не являются простыми. Если оглянуться на процесс перемножения этого бесконечного количества скобок, то станет ясно, что ответ такой: каждое натуральное число, которое равно произведению нечетного числа (включая 1) различных простых, взятое со знаком минус, и, кроме того, каждое натуральное число, которое равно произведению четного числа различных простых, взятое со знаком плюс. Отсутствуют такие числа, как 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, … — т.е. числа, которые делятся на квадрат некоторого простого.