Статьи и речи

D

_x

=(y^2+z^2)

^1/2

,

D

_y

=D

_z

=0.

Так как curl curl D равно нулю, это — одно из состояний равновесия. Интересным в этом примере является то, что при таком смещении трубки искривляются.

Изолированная изогнутая трубка не остаётся стационарной, потому что кривизна приводит к тому, что скорость на вогнутой стороне трубки оказывается большей, чем на выпуклой, а потому она создаёт соответственно пониженное давление на вогнутой стороне. Эта скорость сначала ускоряет первоначально стационарную трубку по направлению к вогнутой стороне, но как только трубка приобретает скорость, возникает подъёмная сила, которая ускоряет трубку в боковом направлении в сторону движения жидкости на вогнутой стороне. Эта подъёмная сила оказывается достаточно большой, чтобы преодолеть градиент давления поперёк трубки. В результате получится боковое смещение в положении трубки. Это движение имеет трансляционный компонент^48b и налагающийся на него вращательный компонент. Последний не создаёт направляющего эффекта в среднем, и мы его игнорируем. Трансляционный компонент этого движения называется дрейфом. Для малых искривлений дрейф пропорционален кривизне (см. приложение 2).

В цилиндрическом смещении жидкость находится в равновесии, так что трубки также должны быть в равновесии. Кривизна трубок, которая приводила бы к дрейфу, если бы трубки были изолированными, должна поэтому компенсироваться структурными изменениями. Форма трубок в деформированном состоянии создаёт микроскопические течения и градиенты давления, которые и нейтрализуют действие кривизны. Это имеет место для любого смещения, для которого как div D, так и curl curl D равны нулю.

Кривизна трубки, которая не сопровождается структурными изменениями и, следовательно, остаётся некомпенсированной, создаёт дрейф. Некомпенсированная кривизна вызывается только дифференциальными вращениями, так как только в случаях движений твёрдого тела получается кривизна, не сопровождаемая структурными изменениями. До тех пор, пока трубки следуют движению жидкости, поведение среды является упругим в классическом смысле; но когда трубки дрейфуют относительно жидкости, уравнение (1) неполно, так как в нём нет учёта дрейфа.

III. Уравнения Максвелла

Теперь мы можем сделать наш описательный анализ среды более определённым. Обозначим прочность на вращение каждой трубки через , где 2 — циркуляция вокруг трубки. Для указания направления циркуляции введём вектор и выберем это направление так, чтобы оно совпадало с пальцами правой руки, охватывающей трубку, а большой палец был бы направлен по . Величина предполагается одинаковой для всех трубок. Дрейф трубки пропорционален её кривизне; коэффициент пропорциональности (коэффициент дрейфа) обозначим через . Трубка в нейтральной среде занимает среднее положение; боковое смещение от этого положения обозначим через . Тогда дрейф можно записать в виде d/dt. Единица длины дрейфующей трубки оказывает на жидкость тягу 2, причём эта величина является также подъёмной силой. Плотность трубки обозначим через L. В приложении I показано, что для некоторых целей трубки можно разлагать как векторы; этим упрощением мы теперь и воспользуемся.

Когда трубки разлагаются на их векторные компоненты, то плотность трубки вдоль каждого направления есть 1/2 L так как среднее значение направляющегося косинуса для сферически симметричного распределения равно 1/2 . На рис. 2 элемент среды, первоначально прямолинейный, изогнут смещением D. Вращения элементов 1 и 2, определённые в этих местах, равны 1/2 curl D, как показано стрелками.

Рис. 2. Элемент объёма, искривлённый при дифференциальном вращении

Кривизна элемента вдоль прямой, перпендикулярной к оси вращения, есть разность во вращениях элементов 1 и 2, делённая на расстояние между ними и, следовательно, она имеет величину 1/2 curl curl D. Трубка, лежащая внутри куска, с таким вращением, как на рис. 2, смещается в плоскость рисунка и вправо со скоростью , превышающей кривизну в раз. Дрейфующая трубка единичной длины оказывает на жидкость тягу 2 в направлении d/dtx, так что эту тягу можно выразить как 2d/dtx на единицу длины. Если разложить трубки вдоль curl DD, curl curl и нормально к этим направлениям, то только последняя часть приобретёт некомпенсированную кривизну. Их плотность равна 1/2 L на единицу объёма. Тяга на единицу объёма, создаваемая дрейфом, равна

F

=-2( 1/2 curl curl

D

)( 1/2 L)=

=- 1/2 L curl curl

D

.

(2)

Знак минус получается от того, что curl curl D противоположно кривизне по направлению. Сравнение с (1) даёт соотношение F= 1/2 L. Так как тяга на единицу длины трубки равна 2d/dtx, то тягу на единицу объёма F можно записать в виде

F

=2(d/dtx)( 1/2 L)=Ld/dtx

(3)

Подставляя это выражение для F в (2), получим

d/dtx=- 1/2 curl curl

D

.

(4)

Теперь рассмотрим криволинейный интеграл от F по замкнутой плоской кривой C (рис. 3). Трубки, перпендикулярные к плоскости рисунка, показаны в сечении кривыми стрелками для обозначения направления циркуляции, причём за положительное направление принято направление против часовой стрелки. Из предыдущих рассуждений ясно, что если некомпенсированная кривизна такова, что трубка 1 дрейфует в C, то трубка 2 имея противоположную циркуляцию, будет дрейфовать из C. Подъёмная сила на каждую трубку направлена вдоль -F, а тяга на жидкость направлена вдоль F.

Рис. 3. Трубки, дрейфующие через кривую С.

Из рис. 3 ясно, что если F должно сохранять преобладающее направление против часовой стрелки, то трубки с положительной циркуляцией будут дрейфовать внутрь C, а трубки с отрицательной циркуляцией будут покидать C, увеличивая таким образом результирующую положительных трубок. Следовательно, криволинейный интеграл F вокруг C связан со скоростью изменения результирующей циркуляции вокруг C. На рис. 3 элемент длины дуги dr обозначен через F и представлена плоскость (плоскость рисунка), по отношению к которой дрейфующие трубки имеют нормальные составляющие. Число положительных трубок, пересекающих dr влево в единицу времени, в dr cos раз больше числа положительных трубок на единицу площади. Число отрицательных трубок, покидающих C, такое же самое. Отрицательная трубка, покидающая C, есть та же самая в отношении циркуляции C, что и положительная входящая трубка. Компоненты трубки в плоскости рисунка не вносят никакой доли в циркуляцию C. Каждая трубка внутри C вносит 2 единиц циркуляции в C, а так как плотность разлагаемых трубок в направлении, нормальном к рисунку, есть 1/2 L то скорость изменения циркуляции вокруг C равна

/C (circ C) =

2( 1/2 L)(dr cos ).

На основании (3), учитывая, что d/dt нормально к , можно записать

F

d

r

=Ldr cos ,

так что

/t(circ C) = 1/

F

d

r

.

По мере того как размеры контура C становятся малыми (однако недостаточно малыми, для того чтобы были различимы индивидуальные трубки), эти члены, разделённые на площадь, охватываемую C, приближаются к компоненту, нормальному плоскости рисунка

/t(curl

q

)=1/ curl

F

,

(5)

где q — макроскопическая скорость среды (в отличие от микроскопической скорости жидкости).

Теперь напишем q в виде dD/dt перегруппируем члены в (5). Принимая во внимание (2), получаем

curl

F

= curl ^2

D

/t^2,