Статьи и речи

Уравнения Максвелла как свойство вихревой губки⁴⁶

Э. Келли

I. Из истории вопроса

Вихревая губка была введена Иоганном Бернулли в 1736 г. при попытке объяснить распространение света. Он предположил, что пространство заполнено несжимаемой жидкостью, содержащей бесчисленные малые водовороты, ориентированные во всевозможных направлениях; взаимодействие этих водоворотов наделяло среду способностью распространять гидродинамические возмущения, что, по представлению Бернулли, могло считаться эквивалентным распространению света. Эта среда содержала также твёрдые частички, которые передвигались вместе с жидкостью, но не отходили далеко от своих первоначальных положений.

Вихри рассматривались и во многих более поздних попытках найти связь между механикой и электромагнетизмом. Сюда относятся такие модели, как вихревая модель Максвелла (1861), которая, хотя и была аннулирована позже, оказала существенную помощь в выводе вихревых уравнений, а также вихревая губка в варианте, принятом Кельвином в 1880 г. и Фицджеральдом в 1885 г.⁴⁷ В 1887 г. Кельвин предложил аналогию между распространением света в пространстве и распространением ламинарных возмущений в вихревой губке. Согласно Уиттекеру, это ознаменовало собой больший успех в разработке таких моделей.

Другое представление, интересующее нас здесь, это вращательная упругая среда Мак-Келлога⁴⁸. Предполагая, что потенциальная энергия этой среды пропорциональна квадрату вихря смещения, Мак-Келлог сумел построить теорию, о которой Уиттекер говорит: «Не может быть сомнения, что Мак-Келлог действительно решил задачу построения среды, колебания которой, рассчитанные в согласии с правильными законами динамики, должны обладать теми же самыми свойствами, что и колебания света».

В то время (1839) было неприемлемо допущение вращательной упругости, так что модель Мак-Келлога не вызвала большого энтузиазма. Модель Максвелла, частично принятая для того, чтобы получить поперечность колебаний, обладала аналогичным недостатком, так как в ней допускались холостые колёсики и упругие элементы. Мы покажем ниже, что как свойство поперечности волн Максвелла, так и вращательные свойства модели Мак-Келлога естественно возникают из свойств вихревой губки, и что уравнения для крупномасштабных движений вихревой губки тождественны по форме с уравнениями Максвелла для свободного пространства.

II. Крупномасштабные свойства вихревой губки

Описание модели. Среда, которую мы здесь рассмотрим, опуская только твёрдые частицы, это среда Бернулли, т. е. бесструктурная, несжимаемая, не вязкая жидкость, в которой не действуют никакие силы за исключением сил, возникающих от гидравлического давления и переноса количества движения. Ньютоновы законы полагаются справедливыми. Эта жидкость переплетается с очень тонкими дискретными вихревыми трубками, ориентированными во всевозможных направлениях. Для целей нашей статьи мы будем рассматривать эти трубки либо как классические вихревые нити, либо как пустотелые вихревые сердечники. Предполагается, что кратчайшее расстояние между трубками велико по сравнению с размерами сечения трубки.

В качестве удобного способа сделать видимым элемент объёма этой среды, вообразим ящик, пронизанный насквозь во всех направлениях иголками так, что ни одна из них не слишком близка к другой. Если теперь наполнить ящик вязкой жидкостью и заставить все иголки вращаться вокруг собственных осей, то вокруг каждой иголки возникнет вихревое движение. Это движение, раз начавшись, будет сохраняться и при уничтожении вязкости. Дальше можно представить себе, что все эти иголки либо убираются, либо превращаются в жидкость. В первом случае среда обладает пустотелыми вихрями с сердечниками, а во втором — она имеет классические вихревые трубки. Жидкость, находящаяся вне вихревых сердечников или трубок, находится в циклическом невращательном движении. Теперь трубки оказываются гибкими, и так как для них невозможно оставаться прямолинейными в таком окружении без внутренней опоры, то они приобретают вращательное движение, которое и сохраняется, как свойство среды. В невозмущённом состоянии среда не обладает никакими преимущественными направлениями. Это состояние, которое предполагается устойчивым, называется нейтральным.

В качестве завершающего этапа процесса визуализации представим себе, что число трубок, пронизывающих ящик, увеличивается, а диаметры трубок уменьшаются так, чтобы сохранялось малое отношение диаметров трубок к расстояниям между трубками до тех пор, пока индивидуальные трубки станут неразличимыми. Теперь эта система выглядит, как континуум, в котором неразличимы вариации скорости, ускорения и давления от трубки к трубке. Эта среда, в которой отдельные эффекты законов гидродинамики теряются в осредняющих эффектах большого числа трубок, и есть вихревая губка в форме, задуманной Кельвином и Фицджеральдом.

Упругость и дрейф. Основное свойство вихревой губки Бернулли, как механической модели распространения света, это то, что каждый вихрь давит на соседние, так что возмущение, например изменение положения вихря, распространяется сквозь среду. Можно убедиться, что упругость этой среды более похожа на упругость обычных тел, чем могло показаться с первого взгляда.

Рассмотрим изменение из нейтрального состояния, в котором ящик и жидкость удлинены в одном направлении x и сокращены вдоль y и z для того, чтобы сохранить объём, причём концы трубок, как предполагается, следуют движению стенок. Стенки, перпендикулярные x, содержат больше концов трубок на единицу площади, чем в нейтральном состоянии; а так как давление близ сердечников низко, то среднее давление на эти стенки менее, чем раньше — состояние, которое можно рассматривать, как растяжение по сравнению с нейтральным состоянием. Наоборот, остальные четыре стенки находятся под давлением.

Наличие сдвигающих напряжений можно вывести из этого примера на основании соображений равновесия, но полезно рассмотреть сдвиг, исходя из первичных принципов. Рассмотрим единичную трубку, которая пересекает поверхность S, ограничивающую объём V, под углом, отличным от 90°. Перенос количества движения через эту поверхность в объём V имеет и нормальную и касательную к S составляющие, так что существуют нормальная и касательная силы, действующие на S. Из соображений симметрии легко показать, что направление касательной силы совпадает с проекцией части трубки, внешней по отношению к V, на S. Эта сила имеет то же самое происхождение, что и вихревая вязкость в теории турбулентности, но отличается от неё, потому что отсутствие вязкости позволяет касательной силе существовать неопределённо долго. Таким образом, истинная прочность на сдвиг является результатом вихревого движения.

В нейтральном состоянии сдвигающие усилия, действующие на поверхность от многих трубок, взаимно уничтожаются, но в напряжённых состояниях это не всегда так. На рис. 1 представлены несколько трубок в элементе объёма: а) в нейтральном состоянии, б) в состоянии растяжения нормального к поверхности и в) при растяжении вращением.

Рис. 1. Элемент объёма, показанный символически:

а — в нейтральном состоянии; Ь —деформированный при растяжении, нормальном к поверхности и с — деформированный при растяжении и повёрнутый

Очевидно, что в случае в имеется результирующая сдвигающая сила вправо, действующая на среду ниже S. Для такого действия необходима как деформация, так и вращение от нормального положения; в случае а вращение не произведёт сдвига вследствие изотропии.

Деформации, которые мы здесь рассмотрим, достаточно малы, так что при разложении в ряд функций напряжения нам понадобятся только первые члены деформации, и мы считаем справедливым закон Гука. Ради простоты, мы пренебрегаем изменениями массовой плотности, которые могут быть результатом растяжения пустотелых вихревых сердечников и изменениями плотности трубок (длины трубки на единицу объёма). Эти условия требуют, чтобы расходимость смещений среды была равна нулю.

Наличие обычных соотношений напряжение — деформация позволяет воспользоваться некоторыми результатами теории упругости. Для упругой среды со смещением D, для которого расходимость div D равна нулю.

G curl curl

D

+

^2D

t^2

=0,

(1)

где G и , соответственно^48a, — модуль сдвига и плотность.

Равновесие имеет место, когда curl D невращателен. Примером может служить цилиндрическое смещение: