"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

.

Це важливе зауваження не робиться в підручниках.

Після цього слід повернутися до ряду (1), показати, що він розбігається, і проаналізувати різні способи “знаходження його суми”. Так як ряд – це не “звичайна сума”, то не можна вважати, що він має властивості скінченої суми, зокрема, асоціативну властивість. Студенти з самого початку повинні засвоїти, що

U ₁ +U ₂ +U ₃ +U ₄ +...

та

( U ₁ +U ₂) +( U ₃ +U ₄) +...–

це, взагалі кажучи, два різних ряди.

Бажано, щоб студенти самі знайшли помилку у випадку, коли було “доведено”, що сума ряду (1) дорівнює 1/2.

Далі корисно запропонувати студентам знайти, наприклад, суму ряду

Студенти переконуються, що відшукання суми ряду – дуже непроста задача. Після цього лектор інформує студентів, що збіжні ряди дуже часто зустрічаються при вирішенні практичних задач і значення їх засноване саме на тій обставині, що вони мають суму. Крім того, виявляється, що для рядів, що збігаються, справедливий асоціативний закон, так що з ними зручно оперувати. От чому важливо вміти визначати, чи даний ряд збігається, чи ні (навіть якщо не вдається знайти його суму).

Так виникає проблема відшукання ознак, що дозволяли б вирішувати питання про збіжність або розбіжність конкретного ряду обхідним шляхом, не заснованим на визначенні суми ряду. Але перш ніж звернутися до розгляду таких ознак, треба, на наш погляд, попередити студентів про одну поширену помилку, а саме: ряд, члени якого спадають, збігається. Студентам буде цікаво почути, що такої думки додержувалися у свій час Ейлер і Даламбер, але не слід забувати, що тоді не існувало поняття границі, тобто і сучасне поняття суми ряду. Ці поняття були введені значно пізніше.

Після введення понять збіжності та розбіжності рядів наступним важливим етапом в історичному розвитку теорії рядів було визначення понять абсолютної та умовної збіжності (Коші, Абель, Діріхле, Ріман). Завдяки цим вченим була переборена схильність до аналогій між властивостями скінчених сум та рядів, яка ще тяжіла у свідомості математиків ХІХ в.

Схильність до таких аналогій є й у студентів. Це зобов’язує лектора акцентувати увагу студентів на різниці в природі абсолютно й умовно збіжних рядів. На відміну від умовно збіжних рядів, для яких справедливий лише асоціативний закон, для абсолютно збіжних рядів справедливий і комутативний закон, що дозволяє обходитися з абсолютно збіжними рядами як із сумами скінченого числа доданків. Це дуже зручно для практичного використання рядів. В зв’язку з цим зробимо два зауваження.

Тому що, за визначенням, поняття абсолютної й умовної збіжностей відносяться лише до знакозмінних рядів, варто привернути увагу студентів, що для збіжних рядів з додатними членами також справедливі комутативний та асоціативний закони. При цьому сума ряду не змінюється. Цей момент не підкреслюється в підручниках. У переважній більшості підручників не підкреслюється також і той факт, що для абсолютно збіжних рядів справедливий асоціативний закон.

При формулюванні теореми Рімана в підручниках не підкреслюється той важливий момент, що перестановка членів умовно збіжного ряду повинна охоплювати нескінченнумножину його членів. Будь-які перестановки скінченогочисла членів допускаються в будь-яких рядах; вони не позначаються ні на збіжності рядів, ні на величині їх суми (у випадку збіжних рядів).

При розгляді степеневих рядів треба звернути увагу на вираз для радіуса збіжності степеневого ряду у вигляді:

.

Ця формула має місце лише для рядів “без пропусків”. Наприклад, для рядів, що містять лише послідовні парні або непарні степені x, справедлива формула

.

Це випливає з доведення формули для R. На жаль, цього застереження немає у підручниках.

Якщо програмою передбачено вивчення рядів з комплексними членами і формул Ейлера, то треба, на наш погляд, зупинитися на одному з наслідків формули

e ^iz =cos z+isin z.

При z=маємо:

e ⁱ +1=0.

Треба звернути увагу студентів на унікальність та красоту цього співвідношення, яке поєднує всі п’ять основних величин: 1, 0, , eта i.

Теорія рядів та її становлення містять у собі значний світоглядний потенціал, який, на наш погляд, треба розкрити перед студентами. Становлення теорія рядів – яскравий приклад того, що суперечності (про деякі з них ми згадували) є джерелом розвитку процесу пізнання. Спроби розв’язати суперечності привели кінець кінцем до створення строгої теорії рядів, яка суттєво збагатила математику та практику. Д. Гільберт у знаменитій доповіді на другому Всесвітньому конгресі математиків відмітив, що “всяка наукова галузь життєздатна, доки в неї надмір нових проблем. Недостача нових проблем означає відмирання або припинення самостійного розвитку…”. Важливо підкреслити, що суперечність є джерелом не тільки розвитку процесу пізнання, але й об’єктивного світу. Всякий розвиток – це виникнення тих чи інших суперечностей, їх розв’язання та виникнення нових суперечностей (закон єдності та боротьби протилежностей).

Наведемо деякі конкретні приклади, які дозволяють продемонструвати перед студентами відображення в теорії рядів діалектичного закону переходу кількісних змін в якісні.

Ряд як “сума нескінченного числа доданків” є якісно нове поняття, властивості якого відрізняються від властивостей “звичайної суми”.

Відкидання скінченого числа членів ряду не змінює його природи (його збіжність або розбіжність), відкидання нескінченної множини доданків може перетворити збіжний ряд у розбіжний і навпаки.

Не змінює природи ряду перестановка скінченого числа членів ряду, але перестановка нескінченної множини членів умовно збіжного ряду може змінити його природу (теорема Рімана).

Сума скінченого числа неперервних функцій неперервна, але сума нескінченної множини неперервних функцій (функціональний ряд) може дати якісно іншу, розривну функцію (нерівномірно збіжний ряд, ряд Фур’є).

Розкладання функцій в ряд Тейлора: сума нескінченної множини степеневих функцій може дати якісно більш складну функцію.

Сума нескінченної множини тригонометричних функцій може дати якісно більш просту функцію (ряд Фур’є).

Не викликає сумніву, що методика формування світогляду студентів у процесі викладання вищої математики повинна стати невід’ємною частиною методики викладання вищої математики.

К методике изложения темы “Кривые второго

порядка” курса высшей математики

В.М. Дрибан, Г.Г. Пенина

г. Донецк, Донецкий государственный университет экономики и торговли им. М. Туган-Барановского

В курсе аналитической геометрии кривые второго порядка обычно рассматриваются как множества точек на плоскости, обладающих определенными свойствами, причем эти свойства различны для различных кривых. Такой подход имеет много методических достоинств. Остановимся на проблемном введении определения эллипса, когда в условиях созданной лектором проблемной ситуации студенты вместе с преподавателем участвуют в процессе разрешения учебной проблемы.