"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Перед изучением темы “Эллипс” в конце предыдущей лекции рассматривается построение “некоторой” кривой “методом садовника” (нить закреплена в двух точках, а кривая очерчивается так, чтобы мел все время держал нить в натянутом состоянии). Лектор говорит, что полученная кривая имеет большое теоретическое и практическое значение, поэтому очень важно изучить свойства данной кривой (эллипса). Задается вопрос: “Можете ли вы указать какие-нибудь свойства эллипса?”. Студенты по чертежу легко определяют такие свойства, как симметрия, указывают интервалы знакопостоянства, монотонности, находят точки экстремума. Преподаватель подтверждает правильность ответов студентов, но подчёркивает, что этих свойств недостаточно, надо выявить неочевидные, “глубинные” свойства эллипса. Как это сделать? С чего начать? Создалась проблемная ситуация: студенты поставлены в состояние интеллектуального затруднения, когда предшествующих знаний недостаточно для изучения свойств кривой. Здесь студенты слабо осознают основную причину своих затруднений (учебную проблему), поэтому лектор стремится организовать мыслительную деятельность студентов на выявление и формулировку проблемы: “Что нужно прежде всего знать о кривой, чтобы иметь возможность изучить ей свойства средствами математики?”. Если нет правильной догадки, задается вопрос типа “Как изучить свойства спирали Архимеда?” Сразу раздаются возгласы: “А что это такое?” Лектор дает определение спирали Архимеда и возвращается к первоначальному вопросу. Теперь почти всегда студенты дают ответ: чтобы изучить свойства кривой, нужно, прежде всего, дать ее математическое определение. Так в результате анализа проблемной ситуации возникает конкретная проблема. После этого студенты получают задание к следующей лекции: дать определение эллипса, основываясь на способе его построения (нужно подсказать, что эллипс следует определить как множество точек, обладающих определенным свойством). На следующей лекции приведенные студентами определения анализируются.

Конечно, проблемное изложение рассмотренного вопроса можно провести и на одной лекции, все зависит от наличия учебного времени. В любом случае проблемное изложение требует больше времени, чем объяснительно-иллюстративное, но, на наш взгляд, экономить время на таких моментах нельзя.

Подчеркнем, что проблемная ситуация в данном случае создалась лишь потому, что речь шла о кривой, знакомой в общих чертах студентам из школы и жизненной практики, т.е. благодаря наличию противоречия между житейскими и научными знаниями. Отметим также, что первая проблема (изучение “неочевидных” свойств эллипса) непосильна для студентов и была поставлена лишь для того, чтобы студенты с первых же занятий уяснили необходимость математических определений объектов как первого этапа их изучения средствами математики. Поэтому лектор эвристическими подсказками сразу же сводит эту проблему к другой (дать определение эллипса), которая по отношению к первой является промежуточной проблемой, но дидактически является основной. Эта проблема уже вполне посильна для студентов.

Обратим внимание на неточности в определениях эллипса и гиперболы, часто встречающиеся в учебниках. Эти неточности состоят в том, что зачастую не оговаривается, что сумма расстояний от точки эллипса до фокусов должны быть больше расстояния между фокусами, а разность расстояний от точки гиперболы до фокусов по абсолютной величине должна быть положительной и меньшей расстояния между фокусами.

Полезно предложить студентам на лекции найти множества точек на плоскости, не лежащих на кривых, для которых:

сумма расстояний каждой точки до фокусов равна расстоянию между фокусами;

разность расстояний каждой точки до фокусов равна нулю;

разность расстояний каждой точки до фокусов равна расстоянию между фокусами.

Неточности (причем принципиального характера) встречаются в учебниках также при выводе уравнений кривых второго порядка. Действительно, при выводе уравнений кривых второго порядка приходится возводить в квадрат иррациональные выражения, что может, вообще говоря, привести к появлению “лишних” точек, не лежащих на этих кривых. Лектор должен обратить на это внимание студентов и сказать, что можно доказать эквивалентность приведенных преобразований, сообщив при этом план доказательства (само доказательство из-за громоздкости выкладок проводить, на наш взгляд, нецелесообразно).

Следует отметить, что указание на неточности в учебниках всегда производит большой эмоциональный эффект.

На наш взгляд, лектор должен показать студентам общие подходы к кривым второго порядка. После того как становится известным, что эллипс, гипербола, парабола и их вырождения исчерпывают класс кривых второго порядка, студенты (с помощью преподавателя) должны “заподозрить” общее геометрическое свойство. После этого лектор рассказывает о том, что кривые второго порядка и их вырождения имеют одинаковое “происхождение”: они являются сечениями плоскостью поверхности конуса, если этот конус мыслить неограниченно продолженным в обе стороны от вершины. Этот факт (известный ещё древним грекам) чрезвычайно поучителен в познавательном и методологическом аспектах, а его демонстрация на доске или на модели производит большое эмоциональное воздействие.

В учебниках по высшей математике кривые второго порядка как конические сечения или вообще не рассматриваются, или рассматриваются как бы статично, независимо друг от друга: при определённых положениях секущей плоскости получается та или иная кривая. На наш взгляд, студентам гораздо интереснее и поучительнее будет увидеть образование кривых второго порядка в процессе динамики,то есть в процессе непрерывного изменения положения секущей плоскости. Если плоскость пересекает конус параллельно его основанию, то в сечении получается окружность (в частности, точка как окружность нулевого радиуса). Если плоскость наклонять, то сечение становится эллиптическим. Чем сильнее наклоняется плоскость, тем больше вытягивается эллипс, оставаясь эллипсом до тех пор, пока плоскость не станет параллельной образующей конуса. Как только это произойдёт, кривая перестаёт быть замкнутой, и две её ветви устремляются в бесконечность, образуя параболу. Дальнейший наклон плоскости приведёт к тому, что она пересечёт вторую половину конуса. В этом случае конические сечение есть гипербола (распространена ошибка, будто для образования гиперболы секущая плоскость обязательно должна быть параллельна оси конуса). Форма ветвей гиперболы меняется с изменением наклона плоскости до тех пор, пока они не выродятся в две пересекающиеся прямые.

Лектор может показать ещё один общий подход к кривым второго порядка: эллипс (кроме окружности), гипербола и парабола являются множествами точек, отношение расстояния которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная (эксцентриситет). При таком подходе определения и уравнения различных кривых второго порядка отличаются друг от друга лишь величиной эксцентриситета. Таким образом, оказывается, что эксцентриситет, который раньше был лишь показателем степени “сплюснутости” кривой, теперь становится одной из важнейших характеристик, видовым признаком, позволяющим по уравнению отличить одну кривую второго порядка от другой.

В этом плане поучительно рассмотреть (без доказательства) общее уравнение кривых второго порядка, отнесенное к вершине:

y ² =2 px–(1– ²) x ².

При =0 получим окружность (в частности, при =0 и p=0 получим точку). Если эксцентриситет возрастает, оставаясь меньше единицы, то 1– ²>0. Имеем непрерывно деформирующийся эллипс. Как только эксцентриситет становится равным единице, эллипс “превращается” в параболу. При дальнейшем увеличении эксцентриситета получим гиперболу. “Здесь можно проследить, – пишет неизвестный автор, – всю эволюцию форм кривых второго порядка. В первом акте высокой трагедии мы будем наблюдать деформирующийся эллипс, один из фокусов которого устремился в бесконечность, увлекая за собой и центр эллипса. Во втором акте меняющееся значение эксцентриситета достигает значения, равного единице, и тогда, только на одно мгновение мелькает образ параболы с тем, чтобы тотчас исчезнуть и дать место новому существованию – гиперболе. Последний акт будет длиться бесконечно долго – деформирующаяся гипербола может жить не спеша, но судьба ее выродиться в пару прямых предрешена”. Блестящее единство математики, диалектики и эстетики!

Умение видеть изменение геометрического образа при изменении параметров имеет большой познавательный смысл. Подобные примеры не только развивают воображение студентов, их эстетическое восприятие, но и делают изучение учебного материала по-настоящему интересным. Это стократ окупает некоторые дополнительные затраты времени.

Одной из важных задач обучения студентов является формирование их диалектико-материалистического мировоззрения. В этом плане высшая математика дает богатый иллюстративный материал, который должен использовать преподаватель. Формирование мировоззрения тесно связано с философскими законами и категориями, поэтому если философия изучается после высшей математики, преподаватель должен вначале в соответствующих местах курса кратко и популярно ознакомить студентов с сутью тех философских законов и категорий, которые он намерен иллюстрировать примерами из высшей математики. В частности, общие подходы к кривым второго порядка прекрасно иллюстрируют диалектический закон перехода количественных изменений в качественные: изменение количества (величины угла наклона плоскости, которая пересекает коническую поверхность, или числового значения эксцентриситета) ведет к появлению нового качества (к другой по форме и по свойствам кривой второго порядка).

С интересом воспринимают студенты сообщение о том, что теорию кривых второго порядка создали древние греки, не зная метода координат. Они рассматривали кривые второго порядка чисто геометрически, как конические сечения. Греческий математик Аполлоний Пергский (IV в. до н.э.!) настолько полно разработал теорию конических сечений, что никто из последующих математиков не сумел ни дополнить, ни исправить исследования Аполлония. Это уникальный факт в истории математики.

Уже на вводной лекции мы говорим об условном делении математики на “чистую” и прикладную и подчеркиваем важность фундаментальных теоретических исследований. Теория кривых второго порядка – блестящее тому подтверждение. Древние греки создавали геометрию конических сечений как “чистую” геометрию, она не находила своего применения почти двадцать веков, пока Кеплер не использовал ее для создания теории движения небесных тел, согласно которой планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Исходя из этой теории, Ньютон создал механику, служащую основой физики и техники. Трудно представить себе, насколько задержалось бы развитие человечества, если бы в свое время не была бы создана “неприкладная” теория конических сечений. А впоследствии оказалось, что кривые второго порядка являются траекториями и других небесных тел. Образно говоря, кривые второго порядка являются неотъемлемым элементом геометрической картины мироздания. Не сказать об этом студентам значит упустить один из важнейших моментов в формировании их мировоззрения.

Наш опыт работы показывает, что формирование диалектико-материалистического мировоззрения в процессе обучения сопровождается повышением интереса студентов к изучению высшей математики, к самому процессу познания.

МЕТОДИКА ОЗНАЙОМЛЕННЯ

МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ З СИСТЕМАМИ ЧИСЛЕННЯ,

ВІДМІННИМИ ВІД ДЕСЯТКОВОЇ

С.І. Дятлова

м. Миколаїв, Миколаївський державний педагогічний університет