"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"
Шрифт:
50 10; сусіди цього числа 51 10та 49 10, оскільки щоб отримати наступне, додаємо одиницю, а щоб отримати попереднє, тобто відняти одиницю, потрібно “взяти” одну одиницю у другого розряду та роздробити її на 10 одиниць (десяткова система числення), у другому розряді залишається чотири одиниці, а у першому із 10 одиниць відняти одну одиницю, залишається 9 одиниць, тобто число 49 10.
Використовуючи той самий алгоритм, але враховуючи основну властивість будь-якої системи числення (основа системи показує, скільки одиниць одного розряду складає один десяток, тобто одну одиницю наступного розряду), знаходимо “сусідів” чисел: 34 5(попереднє 33 5, наступне 40 5),
44 5(попереднє 43 5, наступне 100 5), тут двічі здійснюється перехід через розряд.
100 6(попереднє число знаходимо так: із 100 6відняти одиницю, беремо одну одиницю третього розряду, перетворюємо її в 6 одиниць (основа системи це показує) другого розряду, із них беремо одну одиницю (в другому розряді залишилось 5 одиниць), роздрібнюємо її на 6 одиниць першого розряду та віднімаємо одиницю, залишається у першому розряді теж 5 одиниць, отримуємо число 55 6. Отже, для 100 6попереднім є 55 6, а наступним 101 6.
56 7(попереднє 55 7, наступне 60 7);
66 7(попереднє 65 7, наступне 100 7);
45 6(попереднє 44 6, наступне 50 6);
55 6(попереднє 54 6, наступне 100 6);
100 5(попереднє 44 5, наступне 101 5);
40 5(попереднє 34 5, наступне 41 5).
2. Назвіть найбільше і найменше одноцифрове і двоцифрове число у різних системах числення: двійковій, четвірковій, шістковій, сімковій, вісімковій, дев’ятковій, десятковій. Що ти тут побачив?
Основа системи
2
4
6
7
8
9
10
Найменше одноцифрове
0 2
0 4
0 6
0 7
0 8
0 9
0 10
Найбільше одноцифрове
1 2
3 4
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
Найменше двоцифрове
10 2
10 4
10 6
10 7
10 8
10 9
10 10
Найбільше двоцифрове
11 2
33 4
55 6
66 7
77 8
88 9
99 10
Помічаємо, що всі найменші числа у будь-якій системі числення складаються із нулів (найменше одноцифрове) або одиниць з нулями (найменше двоцифрове, найменше трицифрове аналогічно 100). А найбільші одноцифрові складаються із однієї цифри, що відповідає числу, на одиницю менше основи системи, а найбільше двоцифрове – із двох однакових цифр, на одиницю менше основи системи (аналогічно найбільше трицифрове – із трьох однакових цифр, на одиницю менше основи системи).
3. Вказати “таємниці” числових шкал, назвати два наступних числа:
1)
2)
3)
Міркування учнів:
1) “Таємниця” першої шкали у тому, що тут мова йде про двійкову систему числення, це видно з того, що точка, яка знаходиться від початку відліку на відстані однієї мірки •___•,
позначена одиницею, а точка, яка віддалена від початку шкали на дві одиниці, замінена одним десятком, тобто мова йде про основну властивість двійкової системи числення.Наступні числа: за числом 111 2стоїть 1000 2; 1001 2.
2) “Таємниця” цієї шкали – четвіркова система числення, оскільки точка, що віддалена від початку шкали на 4 одиниці, відмічена числом 10, а це є основна властивість четвіркової системи числення (4 од. = 1 дес.).
Наступним за 22 4стоять числа 23 4; 30 4.
3) “Таємниця” цієї шкали – шісткова система числення. Наступними за числом 15 6стоять числа 20 6; 21 6.
Цікавим для учнів на занятті математичного гуртка, або факультативу є знайомство з додаванням та відніманням багатоцифрових чисел (а потім з множенням та діленням), записаних в будь-якій позиційній системі числення. В дійсності тут відбувається розширення використання алгоритму цих дій в десятковій системі числення на будь-яку іншу позиційну систему числення з основою, що відмінна від десяткової.
В алгоритмах цих арифметичних дій тільки один крок повинен бути записаним в більш узагальненому виді: основа системи вказує співвідношення між сусідніми розрядами, тобто скільки одиниць одного розряду складає одну одиницю наступного розряду.
Наприклад:
3132 5
+
1302 5
–––––
4434 5
– самий “легкий” випадок, де немає переходу через десяток.
3122 5
+
1212 5
–––––
4340 5
– є перехід через десяток в розряді одиниць: 2 5+ 3 5= 10 5(сума одиниць складає одну одиницю наступного розряду).
3133 5
+
1303 5
–––––
4441 5
– є перехід через десяток в першому розряді, але сума одиниць тут перевищує одну одиницю наступного розряду: 3 5+ 3 5= 10 5+ 1 5= 11 5.
3132 5
+
1224 5
–––––
4411 5
– є перехід в першому і другому розрядах.
Далі можна запропонувати більш складні приклади на додавання, коли спостерігається перехід через десяток в кожному розряді І класу, в двох класах та ін.
По аналогічній динаміці ускладнення вивчається і протилежна дія – віднімання, а потім і дії другого ступеня – множення та ділення.
Практика роботи показує, що вивчення чисел і дій над ними в інших позиційних системах числення, відмінних від десяткової, викликає в учнів не тільки інтерес до вивчення математики, а й сприяє більш свідомому засвоєнню особливостей десяткової системи числення, алгоритмів дій (усних та письмових) в десятковій системі числення, що є основною вимогою, яка пред’являється до знань, умінь та навичок учнів, передбачених програмою навчання математики в початкових класах.
МАТЕМАТИЧНИЙ БІЛЬЯРД
ЯК ГЕНЕРАТОР ВИПАДКОВИХ ЧИСЕЛ
В.М. Євсіков 1, М.О. Рашевський 2
1м. Дніпропетровськ, Дніпропетровський національний університет
2м. Кривий Ріг, Криворізький технічний університет
Математичним більярдом [1, 2] (МБ) називатимемо рух без опору точкової частинки в області із пружним відбиванням від стінок. МБ є моделлю багатьох фізичних процесів. Ряд питань у теорії МБ є не розв’язаними, хоча й елементарними. Таким є питання про існування періодичних траєкторій у довільних областях (навіть у многокутниках).