Земля и космос. От реальности к гипотезе

Действительно, когда физики начали измерять силу и ускорение с большой степенью точности, они обнаружили, что, если к данному телу приложить вдвое большую силу, тогда и ускорение увеличивается ровно вдвое. (Это не совсем так. Теория относительности Эйнштейна внесла поправки, которые, однако, при обычных обстоятельствах оказывают незначительное влияние, — но эта глава посвящена ньютоновской аппроксимации, и потому здесь я не буду рассматривать поправки Эйнштейна. — Примеч. авт.) Если увеличить силу в nраз, тогда точно в nраз увеличится и ускорение.

Коротко это можно сформулировать так: ускорение прямо пропорционально силе.

Еще короче это соотношение можно записать при помощи математических символов. Пусть ускорение будет обозначено буквой a, а сила — буквой f. Чтобы представить прямую пропорциональность, мы используем знак. Таким образом, мы можем записать:

a ~ f(уравнение 1).

Но продолжим наши эксперименты. Что произойдет, если мы будем бросать различные предметы? Предположим, что мы с некоторым усилием бросаем теннисный мяч. Насколько это возможно, используйте такое же усилие для того, чтобы последовательно бросать бейсбольный мяч, резиновый детский мячик и шар (один их тех, которым любят отягощать себя метатели шара).

Вы легко увидите, что невозможно при той же самой силе заставить бейсбольный мяч двигаться так же быстро, как теннисный. Резиновый мяч будет лететь медленнее, а металлический шар будет вообще трудно сдвинуть с места.

Человечество уже давно заметило, что фиксированная сила ускоряет тяжелый объект в меньшей степени, чем легкий. В самом деле, если вы произведете измерения, то сразу найдете, что xвдвое тяжелее у, если xв три раза тяжелее, чем y, то xускорится в три раза меньше, чем y, и так далее.

Вы возразите: если бросить перо, то оно, по этой логике, должно полететь куда быстрее, чем бейсбольный мяч, но этого не происходит. Перо быстрее не летит.

Дело в том, что наша рука — не единственное, что действует на перо. На него в противоположном направлении действует сопротивление воздуха. По некоторым причинам, в которые мы не будем вдаваться, эта противодействующая сила в большей степени влияет на относительно легкие предметы, такие, как перо, чем на относительно тяжелые, такие, как бейсбольный мяч. Приходится искать равнодействующую силу — то есть силу, которая получается в результате взаимодействия разных сил.

Еще одно замечание — если мы попытаемся двинуть очень тяжелый предмет по полу, у нас получится очень малое ускорение, возможно, что его вообще не будет. Предмет может вообще не сдвинуться, сколько бы усилий вы ни приложили. На сей раз вам мешает сила трения, которая действует в направлении, противоположном силе, приложенной нами, — и эта сила при прочих равных условиях больше у тяжелых тел.

Короче говоря, реальные явления имеют довольно сложный характер, и вот почему понадобилось два тысячелетия, чтобы после долгих размышлений мудрецов были найдены некоторые общие закономерности. Потребовался исключительный гений, который смог бы отбросить затемняющие картину посторонние явления.

Если мы также отбросим все постороннее, то сможем утверждать, что чем тяжелее объект, тем меньшее ускорение вызовет приложенная к нему фиксированная сила.

Но не будем говорить «тяжелее», поскольку это может вызвать сложности. Давайте использовать термин «масса». При обычных обстоятельствах понятие «более массивное» примерно соответствует тому, что мы считаем «более тяжелым»; «менее массивное» же означает «более легкое».

Чем больше масса тела, тем труднее его ускорить — другими словами, изменить его скорость. Сопротивление изменениям скорости тела называется инерцией. Фактически инерция и масса — различные названия одного и того же свойства. (Покойный ныне И. И. Смит рассматривал свободное от инерции тело, движущееся в космосе со скоростью, близкой к скорости света. Обыкновенная масса без инерции не может двигаться быстрее скорости света, считал он, но масса без инерции может двигаться с любой скоростью, как бы велика она ни была. Это очень интересное утверждение, но если мы глянем правде в глаза, то придется признать, что масса без инерции — это то же, что масса без массы, то есть возникает противоречие в терминах; по крайней мере, мне так кажется. — Примеч. авт.)

Если для данной силы ускорение становится меньше при увеличении массы, мы можем сказать, что ускорение обратно пропорционально массе.

Для того чтобы увидеть, как это может быть, обратимся к математическим соотношениям. Пусть mпредставляет массу. Введем понятие ¹/ _m . Чем больше m(к примеру, 2, 3, 4, 5 и так далее), тем меньше отношение ¹/ _m (соответственно ¹/ ₂, ¹/ ₃, ¹/ ₄, ¹/ ₅и так далее). Фактически ¹/ _m становится тем меньше, чем больше m, — абсолютно так же ускорение становится меньше при увеличении массы.

Если каждая из двух переменных пропорциональна третьей переменной, то эти две переменных прямо пропорциональны друг другу. Другими словами, если ускорение и ¹/ _m обратно пропорциональны m, то ускорение прямо пропорционально ¹/ _m . Тогда мы можем сказать:

а ~ 1/ m(уравнение 2).

Если ускорение прямо пропорционально каждой из двух различных величин, то оно прямо пропорционально произведению этих величин. Другими словами, если апрямо пропорционально fи ¹/ _m (см. уравнения 1 и 2), то оно прямо пропорционально произведению fи ¹/ _m . Таким образом, мы можем сказать, что:

а ~ f/ m(уравнение 3).

Когда эти две величины прямо пропорциональны, а это означает, что в случае, если одна из них становится больше (или меньше), другая также становится больше (или меньше) в соответствующее число раз. Например, один параметр увеличивается в 2 раза, в 5 раз или в 1,752 раза — результат увеличится строго во столько же раз: в 2 раза, в 5 раз или в 1,752 раза.

Но мы лишь определили пропорциональность, использовать же ее для расчетов нельзя, требуется уравнение. Для того чтобы составить уравнение, нужно определить коэффициент пропорциональности.

Если мы не знаем его точную величину, то можем пока использовать константу пропорциональности и обозначить ее буквой. Обычно — пусть и не всегда — константу обозначают буквой k. Почему именно k? Потому что эта идея была перенята у немцев, которые использовали слово «konstant».

Если затем мы умножим правую часть уравнения 3 на такую константу пропорциональности, мы наконец сможем написать желаемое уравнение:

а = kf/ m(уравнение 4).

Присутствие неопределенной константы пропорциональности — это вызов ученым, и они прикладывают все силы, чтобы ее определить. В данном случае мы вправе сами установить единицы ускорения, силы и массы и потому можем выбрать их так, чтобы значение константы равнялось единице. Конечно, единицу при умножении можно не ставить. При условии, что мы правильно выбрали единицы измерения, можем написать уравнение 4 следующим образом:

а = f/ m(уравнение 5).