Большая книга занимательных наук

«Это я знаю и помню прекрасно»

В «Алгебре» древнего арабского математика Магомета-бен-Муза о вычислении длины окружности читаем такие строки:

«Лучший способ – это умножить диаметр на 31/7. Это самый скорый и самый легкий способ. Богу известно лучшее».

Теперь мы знаем, что и архимедово число 31/7 не вполне точно выражает отношение длины окружности к диаметру Теоретически доказано, что отношение это вообще не может быть выражено какой-либо точной дробью. Мы можем написать его лишь с тем или иным приближением, впрочем, далеко превосходящим точность, необходимую для самых строгих требований практической жизни. Математик XVI века Лудольф в Лейдене имел терпение вычислить π с 35 десятичными знаками и завещал вырезать это значение на своем могильном памятнике [53] (рис. 16).

53

Тогда еще это обозначение л не было в употреблении: оно введено лишь с середины XVIII века знаменитым русским академиком, математиком Леонардом Павловичем Эйлером.

Рис. 16. Математическая надгробная надпись

Вот оно: 3,14159265358979323846264338327950288…

Некий Шенке в 1873 г. опубликовал такое значение числа я, в котором после запятой следовало 707 десятичных знаков! Такие длинные числа, приближенно выражающие значение я, не имеют ни практической, ни теоретической ценности. Только от безделья да в погоне за дутыми «рекордами» могло в наше время возникнуть желание «переплюнуть» Шенкса: в 1946–1947 гг. Фергюсон (Манчестерский университет) и независимо от него Ренч (из Вашингтона) вычислили 808 десятичных знаков для числа π и были польщены тем, что в вычислениях Шенкса обнаружили ошибку начиная с 528 знака.

Если бы мы пожелали, например, вычислить длину земного экватора с точностью до 1 см, предполагая, что знаем длину его диаметра точно, то для этого нам вполне достаточно было бы взять всего 9 цифр после запятой в числе π . А взяв вдвое больше цифр (18), мы могли бы вычислить длину окружности, имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0001 мм (в 100 раз меньше толщины волоса!).

Чрезвычайно ярко показал абсолютную бесполезность даже первой сотни десятичных знаков числа п наш соотечественник, математик Граве. Он подсчитал, что если представить себе шар, радиус которого равен расстоянию от Земли до Сириуса, т. е. числу километров равному 132 с десятью нулями: 132 · 1010, наполнить этот шар микробами, полагая в каждом кубическом миллиметре шара по одному биллиону микробов, затем всех этих микробов расположить на прямой линии так, чтобы расстояние между каждыми двумя соседними микробами снова равнялось расстоянию от Сириуса до Земли, то, принимая этот фантастический отрезок за диаметр окружности, можно было бы вычислить длину получившейся гигантской окружности с микроскопической точностью – до

мм, беря 100 знаков после запятой в числе π.

Правильно замечает французский астроном Араго, что «в смысле точности мы ничего не выиграли бы, если бы между длиною окружности и диаметром существовало отношение, выражающееся числом вполне точно».

Для обычных вычислений с числом π вполне достаточно запомнить два знака после запятой (3,14), а для более точных – четыре знака (3,1416: последнюю цифру берем 6 вместо 5 потому, что далее следует цифра, большая 5).

Небольшие стихотворения или яркие фразы дольше остаются в памяти, чем числа, поэтому для запоминания какого-либо числового значения π придумывают особые стихотворения или отдельные фразы. В произведениях этого вида «математической поэзии» слова подбирают так, чтобы число букв в каждом слове последовательно совпадало с соответствующей цифрой числа π.

Известно стихотворение на английском языке – в 13 слов, следовательно, дающее 12 знаков после запятой в числе π ; на немецком языке – в 24 слова, а на французском языке в 30 слов [54] (а есть и в 126 слов!).

54

Вот эти стихотворения:

а) английское:

See I have a rhyme assisting

My feeble brain, its tasks offtimes resisting.

б) немецкое:

Wie о dies n

Macht ernstlich, so vielen viele Miih’!

Lernt immerhin, Jiingltnge, leichte Verselein,

Wie so zum Beispiel dies diirfte zu merken sein’.

в) французское:

Que j’aime a faire apprendre un nombre utile aux sages!

Jmmortel Archimede, sublime ingenieur,

Qui de ton jugement peut sender la valeur?

Pour moi ton probleme eut de pareils avantages.

Они любопытны, но слишком велики, тяжеловесны. Среди учеников Е.А. Терского – учителя математики одной из средних школ Москвы – пользуется популярностью придуманная им следующая строфа:

А одна из его учениц – Эся Чериковер – со свойственной нашим школьникам находчивостью сочинила остроумное, слегка ироническое продолжение:

В целом получается такое двустишие из 12 слов:

«Это я знаю и помню прекрасно,

Пи многие знаки мне лишни, напрасны».

Автор этой книги, не отваживаясь на придумывание стихотворения, в свою очередь предлагает простую и тоже вполне достаточную прозаическую фразу: «Что я знаю о кругах?» – вопрос, скрыто заключающий в себе и ответ: 3,1416.

Квадратура круга

Не может быть, чтобы читатель никогда не слыхал о «квадратуре круга» – о той знаменитейшей задаче геометрии, над которой трудились математики еще 20 веков назад. Я даже уверен, что среди читателей найдутся и такие, которые сами пытались разрешить эту задачу. Еще больше, однако, наберется читателей, которые недоумевают, в чем собственно кроется трудность этой классической неразрешимой задачи. Многие, привыкшие повторять с чужого голоса, что задача о квадратуре круга неразрешима, не отдают себе ясного отчета ни в сущности самой задачи, ни в трудности ее разрешения.

В математике есть немало задач, гораздо более интересных и теоретически и практически, нежели задача о квадратуре круга. Но ни одна не приобрела такой популярности, как эта проблема, давно вошедшая в поговорку. Два тысячелетия трудились над ней и выдающиеся математики-профессионалы и несметные толпы любителей.

«Найти квадратуру круга» – значит начертить квадрат, площадь которого в точности равна площади данного круга. Практически задача эта возникает очень часто, но как раз практически она разрешима с любой точностью. Знаменитая задача древности требует, однако, чтобы чертеж был выполнен совершенно точно при помощи всего только двух родов чертежных операций: 1) проведением окружности данного радиуса вокруг данной точки; 2) проведением прямой линии через две данные точки.

Короче говоря, необходимо выполнить чертеж, пользуясь только двумя чертежными инструментами: циркулем и линейкой.

В широких кругах нематематиков распространено убеждение, что вся трудность обусловлена тем, что отношение длины окружности к ее диаметру (знаменитое число π) не может быть выражено конечным числом цифр. Это верно лишь постольку, поскольку неразрешимость задачи зависит от особенной природы числа 71. В самом деле: превращение прямоугольника в квадрат с равной площадью – задача легко и точно разрешимая. Но проблема квадратуры круга сводится ведь к построению – циркулем и линейкой – прямоугольника, равновеликого данному кругу. Из формулы площади круга, S=πr2, или (что то же самое) S=πr × r, ясно, что площадь круга равна площади такого прямоугольника, одна сторона которого равна r, а другая в π раз больше. Значит, все дело в том, чтобы начертить отрезок, который в π раз длиннее данного. Как известно, я не равно в точности ни З1/7, ни 3,14, ни даже 3,14159. Ряд цифр, выражающих это число, уходит в бесконечность.

Указанная особенность числа π, его иррациональность (число называется иррациональным, если его нельзя точно выразить дробью вида

, где р и q – целые числа, иррациональные числа выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями) установлена была еще в XVIII веке математиками Ламбертом и Лежандром, которые непосредственно опирались в этом вопросе на глубокие исследования петербургского академика Эйлера (1707–1783). И все же знание иррациональности я не остановило усилий сведущих в математике «квадратуристов». Они понимали, что иррациональность π сама по себе не делает задачи безнадежной. Существуют иррациональные числа, которые геометрия умеет «строить» совершенно точно. Пусть, например, требуется начертить отрезок, который длиннее данного отрезка в

раз. Число

, как ил, – иррациональное. Тем не менее ничто не может быть легче, чем начертить искомый отрезок: он равен диагонали квадрата, построенного на данном отрезке.

Каждый школьник легко справляется также и с построением отрезка

 (сторона равностороннего вписанного треугольника). Не представляет особых затруднений даже построение такого весьма сложного на вид иррационального выражения