Фейнмановские лекции по гравитации

_,

+

b

h

_,

h

_,

+

c

h

_,

h

_,

+

+

d

h

_,

h

^,

–

T

h

.

(3.6.1)

Теперь мы вариируем эту сумму четырёх произведений по отношению к тензору h для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника T. Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что h симметричен по индексам , , так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю)

a2

h

_,

^,

+

b

(

h

_,

^,

+

h

_,

^,

)

+

+

c

(

h

_,

+

h

_,

)

+

d2

h

_,

=-

T

.

(3.6.2)

Мы берём производную каждого из этих членов по отношению к индексу , тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению

2a

h

^,

_,

+

b

h

^,

_,

+

b

h

^,

_,

+

c

h

^,

+

+

c

h

_,

+

2d

h

_,

^,

=

0.

(3.6.3)

Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берём значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:

h

^,

_,

(2a+b)

=

0,

h

^,

(b+c)

=

0,

h

_,

(c+2d)

=

0.

(3.6.4)

Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что a= 1/2 , мы получаем

a

=

1

2

,

b

=

– 1

,

c

=

1

,

d

=-

1

2

.

(3.6.5)

Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.

3.7. Определение символов

Манипуляции с тензорными величинами становятся всё более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приёмы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.

Определим оператор ”черта” для произвольного тензора второго ранга следующим образом:

X

=

1

2

(

X

+

X

)-

1

2

X

.

(3.7.1)

Для симметричного типа, такого как h, это правило проще, потому что два члена в первой скобке равны

h

=

h

–

1

2

h

,

(3.7.2а)

h

=

h

.

(3.7.2б)

Заметим, что оператор ”черта” является своим собственным обратным оператором для симметричного тензора.

Определим также использование неиндексированного тензорного символа, чтобы представить его след

h

=

Th(h)

=

h

,

h

=-

h

.

(3.7.3)

Используя такие обозначения, можно записать полевые уравнения (3.6.2) с учётом (3.6.5) в симметризованном варианте

h

_,

^,

–

2

h

_,

^,

=-

T

.

(3.7.4)

Для того, чтобы получить соотношение для T, мы просто берём оператор ”черта” от обеих частей последнего уравнения.

Следующим шагом мы попробуем найти что-либо аналогичное свойствам калибровочной инвариантности электродинамики для того, чтобы упростить решение уравнения (3.7.4). В электродинамике полевые уравнения имеют вид:

A

^,

_,