Фейнмановские лекции по гравитации

empty-line/>

.

(4.6.5)

Введём новый тензор для того, чтобы записать действие в более компактном виде

g

(x)

=

+

2

h

(x)

,

(4.6.6)

так что действие может быть записано в виде

m

=

–

1

2

d

g

(x)

x'

x'

.

(4.6.7)

Начиная с последнего соотношения и ниже, обозначаем производную по отношению к параметру знаком ”штрих”. Поскольку мы вариируем функционал (действие) по отношению к координатам траектории, мы получаем два равных члена от каждого из множителей x', x' и один от тензора g; уравнение движения имеет вид

–

d

d

(

g

x'

)

+

1

2

g

x

x'

x'

=

0.

(4.6.8)

Существуют другие способы записи уравнений, которые могут быть иногда полезны. Сначала мы перегруппируем члены, в которых имеются две скорости, с одной стороны равенства

g

x''

=

1

2

g

x

–

g

x

x'

x'

.

(4.6.9)

Теперь мы расщепляем второй член на две равные части и переобозначаем индексы суммирования <-> одной части для того, чтобы получить комбинацию, которая задаётся специальным символом, поскольку он часто повторяется

[,]

=

1

2

g

x

+

g

x

–

g

x

.

(4.6.10)

Уравнение движения, выраженное через такую скобку (называемую ковариантными коэффициентами связности), становится довольно простым

g

x''

=-

[,]

x'

x'

.

(4.6.11)

Имеется одно следствие этого уравнения, которое немедленно получается дифференцированием по параметру произведения gx'x'

(

g

x'

x'

)

=2

g

x'

x''

+

g

x

x'

x'

x'

.

(4.6.12)

Если мы перепишем произведение gx'' в первом члене в правой части его выражением (4.6.9) и переобозначим индексы суммирования, мы находим, что производная тождественно равна нулю. Таким образом, произведение gx'x' есть скалярная константа. Если мы определим новый параметр s следующим соотношением

g

x'

x'

=

ds

d

^2

,

то s - аналог собственного времени для задач гравитации. Так как ds/d есть константа, мы выберем её равной единице и обозначим ниже все производные по переменной s точкой. В частности, тогда

g

x

x

=

1.

(4.6.13)

4.7. Орбитальное движение частицы вокруг звезды

Уравнение движения может быть записано через полевой тензор следующим образом (что следует из соотношения (4.6.8))

d

ds

(

x

+

2

h

x

)=

h

x

x

x

.

(4.7.1)

Перед решением уравнения движения следует заметить, что нам необходимы соответствующие выражения для гравитационных полей. Мы интересуемся этими выражениями в области, где нет источников массы. Таким образом, полевое уравнение

h

_,

–

2

h

_,

^,

=

T

(4.7.2)

может быть решено способом, аналогичным решению уравнения Максвелла, если мы используем лоренцеву калибровку h^,=0. Вспоминая определение даламбертиана =(/t)^2-^2, получаем

h

=-

T

.

(4.7.3)

Для гравистатического случая, когда временная зависимость имеет нулевую частоту, мы должны иметь ньютоновский закон для силы; компонент T пропорционален массе. Другие компоненты равны нулю. Полевой тензор есть