Фейнмановские лекции по гравитации

(4.1.6)

Знак кулоновских сил связан со знаком временных компонент в лагранжиане. Для гравитационных волн также имеются трансверсальные компоненты, которые заключены в определённые пределы, а при свёртке по двум индексам (или даже по чётному числу индексов) знаки сокращаются, знак временных компонентов h противоположен случаю, рассматриваемому в случае электричества, и мы имеем притяжение.

4.2. Тензор энергии-импульса для скалярной материи

Прежде, чем мы сможем вычислять наблюдаемые эффекты и делать предсказания другие, чем закон ”обратных квадратов”, и то, что ”одинаковые тела” притягиваются с силой, пропорциональной его энергии, мы должны определить, как материя определяет тензор давления T. Сначала мы проведём в некоторых деталях вычисления, основанные на простейшем предположении, что материя может быть представлена скалярной функцией . Позднее нам понадобится рассматривать функции более высокого ранга; возможно в конце курса мы рассмотрим вещество со спином 1/2 , поскольку такое вещество имеет свойства, существенно отличающиеся от вещества, характеризующегося целым спином. Для исследования свойств материи с целыми значениями спина 1 и 2 требуются более сложные алгебраические преобразования, однако никаких принципиальных нововведений привлекать не требуется.

Как сделать обобщение плотности энергии-импульса для скалярного поля . Если заглянуть в книгу Вентцеля [Went 49] по теории поля, мы обнаружим, что предлагается следующая процедура. Предположим, что лагранжиан зависит от полей и их производных

L

=

L(

ⁱ

i

,

).

(4.2.1)

Компонент с индексами {44} тензора энергии-импульса должен представлять плотность энергии, которая есть гамильтониан. Поэтому используя обычное классическое описание для выражения гамильтониана из лагранжиана

H

=

q

L

q

–

L

,

(4.2.2)

получаем следующее соотношение

T

=

ⁱ

_,

L

ⁱ_,

–

L

.

(4.2.3)

Это правило не является корректным в общем случае. Во-первых, оно не обязательно приводит к выражению, симметричному по индексам и . Если тензор T– несимметричен, то результирующая теория - патологическая (например, нет способа определить угловой момент в таком поле). Закон сохранения энергии в общем случае не выполняется, поскольку в дивергенцию включены члены, которые не являются больше равными

T

_,

/=

T

_,

.

(4.2.4)

В нашем частном скалярном случае правило (4.2.3) действительно приводит к тому, чтобы получить удовлетворительную симметричную форму. Мы получаем лагранжиан и действие

S

(Скалярная материя)

=

1

2

dV

(

^,

_,

–

m^2^2

),

(4.2.5)

который даёт следующее выражение для тензора давления

T

=

_,

_,

–

1

2

^,

_,

+

1

2

m^2^2

.

(4.2.6)

С учётом тензора давления для скалярной материи (4.2.6) член, описывающий взаимодействие в лагранжиане, имеет следующий вид:

– h

T

=-

h

_,

_,

–

1

2

h

(

^,

_,

–

m^2^2

)

.

(4.2.7)

В наших компактных обозначениях, использующих оператор ”черта”, последнее соотношение может быть переписано следующим образом:

–

h

_,

_,

+

1

2

h

m^2^2

.

(4.2.8)

Теперь мы можем использовать член, описывающий взаимодействие, для того, чтобы получить амплитуды для рассеяния при обмене гравитоном.

4.3. Амплитуды для рассеяния (скалярная теория)

Рис. 4.2.

Амплитуда рассеяния, соответствующая обмену одним гравитоном, представлена на диаграмме, изображённой на рисунке 4.2, и может быть записана из исследования диаграммы, так как мы знаем форму пропагатора и для каждой вершины у нас есть член, описывающий взаимодействие, задаваемое лагранжианом (4.2.7). Заменим градиенты компонентами 4-импульса в импульсном представлении

i

_,

=

p

,

(4.3.1)

так что член, описывающий взаимодействие, становится следующим для одной из вершин

2

^1p^2p

–

1

2

(

^1p

^2p

–

m^2

)

.

(4.3.2)

Мы пишем подчёркивание под произведением pp для того, чтобы напомнить, что мы должны использовать соответствующим образом симметризованную версию, так как h– симметричен. Более точно,

AB

1

2

[

A

B

+

A

B

].

(4.3.3)

Для второй вершины нам также необходима ”черта” для выражения, которое имеет следующий вид

2

^3pp

–

1

2

m^2

.

(4.3.4)

Тогда полное выражение для амплитуды есть следующее

4

^3pp

–

1

2

m^2

1

q^2

^1p^2p

–