Фейнмановские лекции по гравитации

Некоторая подсказка, которая может помочь нам, состоит в том, что гравитация взаимодействует с плотностью энергии, так что поскольку плотность энергии в теории относительности есть компонент (44) тензора второго ранга, то в уравнениях нам необходимо иметь тензор второго ранга. Кривизна является тензором четвёртого ранга, так что мы сворачиваем его (по верхнему и нижнему индексу) один раз и используем тензор Риччи. Первая гипотеза Эйнштейна состояла в том, что тензор энергии-импульса попросту равен тензору Риччи ^2T=R. Тем не менее, возможен другой выбор; мы можем добавить к тензору Риччи метрический тензор, умноженный на скалярную кривизну (свёрнутый тензор Риччи). Таким образом, получаем то, что в конце концов выбрал Эйнштейн:

R

–

1

2

g

R

=

^2T

.

(10.1.1)

Существует хороший аргумент в пользу того, почему такой выбор лучше. Если мы вычислим ковариантную дивергенцию уравнения (10.1.1), то ответ состоит в том, что эта величина тождественно равна нулю. Это означает, что закон сохранения энергии есть попросту следствие вида уравнения (10.1.1). Если мы положим тензор энергии-импульса равным только вектору Риччи (а не тензору Эйнштейна), то закон сохранения энергии был бы тогда физическим постулатом, который принёс бы больше информации и привёл бы к меньшей свободе. В действительности выбор метрических тензоров не является однозначным; когда мы работаем с ними, у нас есть возможность свободы выбора четырёх функций, соответствующих четырём функциям, которые описывают общее преобразование, задающее новые координаты через старые. Так как закон сохранения энергии есть тождество, то выбор четырёх функций в метрике является полностью свободным.

Насколько хорошо выбор Эйнштейна соответствует Природе? Как мы получаем тензор T и каково значение этих уравнений и кривизны? Для того, чтобы ответить на эти вопросы, мы поработаем с этими уравнениями некоторое время. Прежде всего мы попытаемся понять связь этих уравнений с остальной физикой и с вариационными принципами.

Для того, чтобы записать принцип действия в релятивистском виде, нам необходим интеграл, который есть скалярный инвариант. Мы выбираем, что действие для гравитационного поля есть

S

_g

=-

1

2^2

dx

R

– g

.

(10.1.2)

В тех выражениях, которые мы выписываем, мы обозначаем dx=dxdyzdt. Действие S_g есть скаляр, поскольку R есть скаляр и -gdx есть скаляр. Мы можем показать последнее, исходя из рассмотрения того, что собственное время есть скалярный инвариант

(ds)^2

=

g

dx

dx

.

(10.1.3)

Вследствие того, что g есть симметричный тензор, мы всегда можем ввести вращение таким образом, что тензор будет диагональным; в этом случае

(ds)^2

=

D(dt)^2

–

C(dz)^2

–

B(dy)^2

–

A(dx)^2

.

(10.1.4)

Отсюда мы видим, что элемент объёма dx не является инвариантом; должным образом выбранный инвариантный элемент объёма есть

ABCD

dx'

dy'

dz'

dt'

=

– g

dx'

,

(10.1.5)

где g'=Det g'. Если мы делаем ортогональные преобразования, то dx=dx' и также определитель Det g равен Det g'. Таким образом, общее выражение для инвариантного элемента объёма есть

– g

dx

.

(10.1.6)

Величина -g есть скалярная плотность. Это означает, что её изменение при координатном преобразовании получается умножением на якобиан преобразования

– g'

=

x

x'

– g

.

(10.1.7)

Тензор кривизны появляется тогда, когда мы вычисляем вариацию величины S_g по отношению g

S_g

g

=

1

2^2

– g

R

–

1

2

g

R

.

(10.1.8)

Это происходит из-за того, что мы можем использовать интеграл от R как действие гравитационной части полной задачи.

Позвольте мне отметить, что поскольку этот тензор давления появляется при таком подходе из вариационного принципа, его ковариантная дивергенция с необходимостью равна нулю (это утверждение впервые, я считаю, было отмечено Эддингтоном). Мы увидели эту связь с другого направления, заключающегося в том, что мы могли бы вывести вариационный принцип при условии, что мы исходим из тензора с нулевой дивергенцией. Доказательства, которые мы предлагаем, не являются строгими; мы не беспокоимся о строгости, поскольку факты составляют существо дела, а не их доказательства. Физика может развиваться без доказательств, но мы не можем продолжать развивать теорию без фактов. Доказательства полезны в том смысле, что они являются хорошими упражнениями; если факты верны, тогда доказательства являются предметом игры с корректным использованием алгебры.

Мы хотим показать, что если функционал

S

_g

=

dx

[g

]

,

(10.1.8')

есть инвариант при координатных преобразованиях, тогда ковариантная дивергенция вариации S_g по отношению g тождественно равна нулю. Делая инфинитезимальное преобразование и переходя к штрихованным координатам x– >x',

x

=

x'

+

h

(x')

,

(10.1.9)

изменение g задаётся соотношением

g

– >

g'

(x')

=

g

(x')

+

h

_,

g

(x')

+

h

_,

g

(x')

+

+

h

g

_,

(x')

.

(10.1.10)

Выражая действие в новых координатах, опуская штрихи у переменных, по которым ведётся интегрирование, инвариантное действие выражается в виде

S

_g

=

dx

[g'

]

=

dx

[g