Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
]
+
+
dx
g
(
h
,
g
+
h
,
g
+
h
g
,
).
(10.1.11)
Когда мы производим интегрирование по частям второго слагаемого в правой части этого выражения, мы преобразуем его к выражению, которое включает в себя функциональные производные функции . Мы
x
g
g
–
1
2
g
g
x
=
0.
(10.1.12)
Обозначим G вариацию величины 2^2Sg по отношению к g:
G
=
2^2
Sg
g
.
(10.1.13)
Величина G есть контравариантная тензорная плотность второго ранга. Используя это определение, уравнение (10.1.12) можно переписать в виде
g
G
,
–
1
2
g
,
G
=
0,
(10.1.14)
которое эквивалентно утверждению, что ковариантная дивергенция G равна нулю
G
;
=
0.
(10.1.15)
Для демонстрации эквивалентности некоторых соотношений, включающих в себя ковариантные производные, удобно использовать некоторые соотношения, которые мы приведём сейчас для того, чтобы в дальнейшем их использовать. Вначале вычислим свёрнутые символы Кристоффеля.
Используя определение, получим
=
g
[,]
=
1
2
g
[
g
,
+
g
,
–
g
,
].
(10.1.16)
Второй и третий члены взаимно сокращаются, так как тензор g– симметричен. Оставшийся член содержит обратную матрицу g умноженную на градиент g. Из хорошо известной теоремы об определителях следует, что алгебраическое дополнение M матрицы g связывается с соответствующим элементом обратной матрицы соотношением
g
=
M
g
,
(10.1.17)
и таким образом
g
,
=
g
,
M
=
g
,
g
g
.
(10.1.18)
Следовательно,
g
g
,
=
[log(-g)]
,
,
(10.1.19)
и
свёрнутый символ Кристоффеля равен следующему соотношению=
[log(-g)]
,
=
1
– 1
(
– 1
)
,
.
(10.1.20)
Кроме того, имеются следующие полезные формулы для ковариантных производных. Для скалярных функций ковариантные градиенты оказываются равными обычным градиентам
;
=
,
.
(10.1.21)
Для контравариантного вектора ковариантная дивергенция есть
A
;
1
– g
– g
A
,
(10.1.22)
Ковариантный ротор оказывается равным обычному ротору
A
;
–
A
;
=
A
,
–
A
,
(10.1.23)
Для тензоров второго ранга ответы оказываются различными (в зависимости от симметрии), для антисимметричных тензоров
F
;
=
1
– g
– g
F
,
если
F
=-
F
.
(10.1.24а)
Для симметричных тензоров
T
;
=
1
– g
T
– 1
,
–
1
2
g
,
T
,
если
T
=
T
.
(10.1.24б)
Используя эти соотношения, путём прямых вычислений можно получить, что соотношения (10.1.14) и (10.1.15) эквивалентны. Таким образом, мы видим, что инвариантность действия приводит к построению тензорной плотности, которая автоматически имеет нулевую ковариантную дивергенцию. Так как ковариантная производная метрического тензора g обращается в нуль, то ковариантная производная (-g); также обращается в нуль. (Заметим для точности, что обычная производная (-g), есть не то же самое, что ковариантная производная, поскольку -g есть скалярная плотность, а не скаляр). Тензор, ассоциированный с тензорной плотностью G также является бездивергентным,