Фейнмановские лекции по гравитации

Конечно, в гравитационном поле законы электродинамики Максвелла должны быть модифицированы для того, чтобы удовлетворить принцип относительности. В конце концов законы Максвелла предсказывают, что фотон должен двигаться по прямой линии, и обнаружено, что фотон искривляется звездой ("падает на звезду”). Ясно, что некоторое взаимодействие между гравитацией и электродинамикой должно быть включено в более точную формулировку законов электричества для того, чтобы сделать их согласованными с принципом эквивалентности.

Мы не будем завершать построение нашей теории гравитации до тех пор, пока мы не обсудим такие модификации электродинамики, а также механизмы излучения, приёма и поглощения гравитационных волн.

9.2. Ковариантные производные тензоров

В предыдущей лекции мы видели, как понятие кривизны возникает при обсуждении геометрических измерений. Мы можем получить более интересное представление о том, как четырёхмерная кривизна будет влиять на наш взгляд на физику, рассматривая более удачное приближение, которое состоит в том, чтобы определить кривизну как величину, описывающую, что происходит с вектором при перемещении его в пространстве. Давайте представим вновь наш двумерный мир. Если мы используем плоские евклидовы координаты, то постоянное векторное поле, существующее в пространстве, описывается постоянными компонентами. Если мы используем некоторые другие координаты, в общем случае искривлённые, постоянное векторное поле описывается компонентами, которые меняются от точки к точки. Хорошо знакомый пример состоит во введении на плоскости полярных координат, в которых постоянный вектор описывается компонентами

(

A cos

+

B sin

)=

F

_r

,

(

B cos

–

A sin

)=

F

.

(9.2.1)

Первое, что мы должны сделать состоит в том, чтобы получить соотношения, которые позволят нам сравнить физически значимое различие между тензором в данной точке и его значением в окружающих точках. По сути дела мы хотим описать изменение тензора, которое до известной степени исключало бы изменения компонентов, вызываемые произвольным выбором координат. Например, мы хотим сравнить вектор в точке x с другим вектором, находящимся в точке, характеризуемой инфинитезимальным смещением dx от заданной точки, перенесением одного из векторов, остающегося постоянным (более точно, остающегося параллельным самому себе) в некоторую другую точку.

Для скалярной функции (тензора нулевого ранга) подобная проблема не составляет проблем. Обычное градиентное преобразование определяется соотношением

x'

=

x

x'

x

,

(9.2.2)

так что градиент скаляра есть очевидно ковариантный вектор. Тем не менее, обычные градиенты векторов или тензорных величин более высокого порядка не являются тензорами; в этом случае в законе преобразования имеются члены, зависящие от случайности при выборе координат. Мы выводим соответствующее выражение для производной путём рассмотрения, как такие объекты выглядят в касательном пространстве. Так как касательное пространство - плоское, производные компонентов не содержат членов, обусловленных искривлением координат, и градиенты векторов по отношению к плоским координатам являются тензорами. Мы получим соотношение для этих тензоров в любых координатах, делая обратное преобразование от плоского пространства к произвольным координатам. Как обычно, мы употребляем разложения для того, чтобы получить такие соотношения. (”Штрихованные” координаты соответствуют плоскому пространству.) Пусть

x

=

x'

+

1

2

a

x'

x'

+

… ,

x

x'

=

+

a

x'

+

… .

(9.2.3)

Используя первые члены разложения, получим

A

(x)

=

x

x'

A'

(x')

.

Поскольку мы можем переписать выражение для производной, используя соотношение (9.2.3), то получим

A

(x)

=

A'

(x')

+

a

x'

A'

(x')

+

… .

(9.2.4)

Теперь возьмём градиент этого выражения по отношению к произвольным координатам и вычислим эту величину в начале координат

A

x

=

x'

A'

(x')

+

a

x'

A'

(x')

x'

x

=

A'(x')

x'

+

a

A'

(x')

.

(9.2.5)

Именно поскольку эта величина берётся в начале координат, все члены, линейные по x', равны нулю. Таким образом, мы получаем производную ”для плоского пространства” на языке произвольных координат

A

x

–

a

A

=

A'

x'

.

(9.2.6)

Если теперь мы запишем a через метрические тензоры, то мы получаем соотношение для ”более правильной” производной. Эта величина является тензором и известна как ковариантная производная вектора A. Для того, чтобы отличить эту производную от градиентов, мы будем использовать точку с запятой для обозначения ковариантного дифференцирования

A

_;

A

x

–

A

.

(9.2.7)

Доказательство того, что эта величина есть тензор, достаточно утомительно, но очень просто; всё, что для этого требуется, состоит в том, чтобы преобразовать все координаты к координатам в плоском пространстве, непосредственно вычислить производную и затем проверить полученный закон преобразования. Правило для дифференцирования контравариантного вектора аналогично предыдущему

A

_;

A

x

–

A

.

(9.2.8)

Последнее соотношение может быть доказано более просто, если мы исходим из соотношения (9.2.7) и используем метрический тензор для поднятия и опускания индексов; перестановка метрических тензоров приводит к тому, что величина меняет знак. Для того, чтобы вычислять ковариантную производную тензора, имеющего много индексов, получаем следующее правило