Фейнмановские лекции по гравитации

,

(8.6.4)

где a=a Члены, соответствующие первым производным, будут равными нулю при следующем выборе a:

a

+

a

=-

g

0

,

.

(8.6.5)

Нам необходимо решить это уравнение таким образом, чтобы a было выражено через

g

0

,

исходной системы координат. Эта процедура делается с использованием обычных приёмов; вычитаем уравнение, полученное перестановкой (,), затем собираем подобные члены и т.д., и получаем следующее соотношение:

a

=-

1

2

g

0

,

+

g

0

,

–

g

0

,

=-

[,]

.

(8.6.6)

Из соотношения (8.6.4) видно, что

g'

0

,

есть (удвоенное) выражение в квадратных скобках в правой части соотношения (8.6.4) с заменой a в соответствии с соотношением (8.6.6). Эти величины

g'

0

,

теперь могут быть заменены на

g

0

,

в соотношении (8.5.9) для того, чтобы найти компоненты кривизны, выписанные через старые координаты (ограниченные только тем, что они должны быть локально ортогональными), следующим образом:

R

=

1

2

(

g

_,

–

g

_,

–

g

_,

+

g

_,

)+

+

[,]

[,]

–

[,]

[,]

.

(8.6.7)

Осталось только ортогонализировать первоначально произвольные координаты. Это может быть сделано линейным преобразованием:

x

=

L

x'

.

(8.6.8)

Всё, что осталось нам сделать, состоит в том, чтобы выбрать

g'

0

=

,

(8.6.9)

и переписать все соотношения ещё раз. Производные при выбранном преобразовании определяются матрицей L, и мы имеем

g'

=

L

L

g

=

.

(8.6.10)

Среди соотношений, которые могут быть получены, имеется следующее соотношение:

L

L

=

g

.

(8.6.11)

Что же происходит с различными членами? Поскольку

x'

=

x

x

x'

=

L

x

,

(8.6.12)

то, следовательно, (в последующих соотношениях латинские индексы соответствуют штрихованным координатам)

g'

_mn,st

=

L

_s

L

_t

L

_m

L

_n

g

_,

,

(8.6.13)

a'

_rmn

=

L

_r

L

_m

L

_n

a

,

(8.6.14)

^rq

a'

_rmn

a'

_qst

=

^rq

L

_r

L

_q

L

_m

L

_n

L

_s

L

_t

a

a

.

(8.6.15)

Когда мы вставляем эти соотношения в выражения для компонент R, мы получаем, что R не является более инвариантом. Окончательное выражение для R (при выводе которого используется соотношение (8.6.11)) имеет следующий вид:

R

=

1

2

(

g

_,

–

g

_,

–

g

_,

+

g

_,

)+

+

[,]

g

[,]

–

[,]

g

[,]

,

(8.6.16)

а закон преобразования имеет вид:

R'

_mnst

=

L

_m

L