Физика пространства - времени
Шрифт:
ma
Солнце
=
Pr^2
.
Масса шарообразной частицы связана с её плотностью и радиусом r по формуле
m
=
4
3
r^3
.
Подставляя её в уравнение баланса сил, найдём оттуда величину критического радиуса
r
=
3
4
P
aСолнце
.
Чтобы определить численное значение r, необходимо задаться величиной плотности ; предположим
r
=
3
4
4·10 н/м^2
(10^3 кг/м^3)(6·10^3 м/сек^2)
=
5·10
м
.
Итак, частица должна быть довольно маленькой — радиусом примерно 1000 атомов. Интересно, что расстояние от Солнца при вычислениях сокращается. Отметим, что мы сделали здесь следующие предположения:
1) частица шарообразна,
2) частица полностью поглощает падающий на неё свет,
3) плотность частицы равна плотности воды.
70. Эффект Комптона
В подписи к рис. 109 дано уравнение, выражающее закон сохранения импульса. Однако нас больше интересует здесь энергия, почему мы и произведём в нем замены
p
=
E
фотон
,
p
=
E
фотон
,
P
^2
=
E
^2-m^2.
В результате получим уравнение
E^2
–
m^2
=
E
фотон
^2
+
E
фотон
^2
–
2
E
фотон
E
фотон
cos
,
в то время как собственно закон сохранения энергии даёт
E
фотон
+
m
=
E
фотон
+
E
,
если учесть, что электрон первоначально находился в покое, так что его полная энергия сводилась к энергии покоя m. Теперь нас не интересует энергия E электрона после столкновения, и мы исключим её из полученных двух уравнений, получив, наконец, энергию фотона, рассеянного в направлении угла :
E
фотон
=
E
фотон
.
1
+
E
фотон
(1-cos )
m
Разделив левую и правую стороны этого равенства на массу покоя электрона m, рассмотрим случай, когда Eфотон/m=2:
Eфотон
m
=
2
1+2(1-cos )
.
Когда
электрон крепко связан в атоме, в качестве массы m выступает масса этого атома в целом, и тогда эффективная величина отношения Eфотон/m оказывается в 20 тысяч раз меньше, чем при рассеянии фотонов на свободных электронах. В случае крепко связанных электронов знаменатель в формуле, описывающей эффект Комптона, становится практически равным единице при любых углах , так что энергия рассеянного фотона оказывается очень близка к энергии падающего.
Рис. 152.
71. Измерение энергии фотона
Рис. 153.
На рис. 153 изображена диаграмма импульсов, причём через P обозначен импульс электрона после столкновения. Для этого прямоугольного треугольника можно записать
P
^2
=
p^2
+
p
^2
=
E
фотон
^2
+
E
фотон
^2
,
p
p
=
Eфотон
Eфотон
=
3
4
.
С другой стороны, имеют место закон сохранения энергии
E
фотон
+
m
=
E
фотон
+
E
и релятивистское соотношение между энергией и импульсом для электрона
E
^2
–
P
^2
=
m^2
.
Из этих уравнений можно найти энергию падающего фотона
E
фотон
=
4m
12
(проверку выполнения всех этих уравнений можно осуществить, используя следующие вспомогательные величины:
E
фотон
=
3m
12
,
E
=
13m
12
,
p
=
5m
12
.
72. Энергия и частота фотона
а) В случае фотона, движущегося вдоль оси x, формулы преобразования энергии и импульса (78) сводятся к одному-единственному равенству
E'
=
E ch
r
–
p sh
r
=
E(ch
r
–
sh
r
)
=
Ee
r
,
где мы учли формальные определения функций ch и sh , приведённые в табл. 8.
б) Нулевая вспышка (n=0) проходит через начало координат в момент t=0, и её распространение описывается в дальнейшем уравнением x=t, т.е. t-x=0. Вспышка № 1 (n=1) проходит через начало координат в момент t=c/, так что величина её x-координаты всегда на c/ меньше, чем этой же координаты нулевой вспышки: