Физика пространства - времени
Шрифт:
=
p' cos ',
p'
y
=
p' sin '.
Подставляя эти выражения для компонент импульса в формулы преобразования Лоренца (78), найдём
E'
=
– p
cos
sh
r
+
E
ch
r
,
p'cos '
=
p
cos
sh
r
–
E
ch
r
,
p'sin '
=
p
sin
.
Но
E'
=
E
ch
r
(1-
r
cos )
,
как это требовалось показать [уравнение (120)]. Найдём теперь из второго уравнения cos ' и исключим из него E пользуясь (120):
cos '
=
E cos ch r– E sh r
E ch r(1-r cos )
,
cos '
=
cos -r
1-r cos
.
б) Будем исходить из формул, обратных (78):
E
=
p'
x
sh
r
+
E' ch
r
,
p
x
=
p'
x
ch
r
+
E' sh
r
,
p
y
=
p'
y
,
p
z
=
p'
z
.
Вновь производя уже знакомые подстановки
p'
x
=
p' cos '
=
E' cos '
,
p'
y
=
p' sin '
=
E' sin '
и т.д., найдём из приведённой выше формулы преобразования энергии
E
=
E' ch
r
(1+
r
cos ')
.
Подставляя этот результат в выписанную выше первую формулу для компонент импульса, найдём из неё
cos
=
cos '+r
1+rcos '
.
Эти результаты приведены в упражнении 76, а последняя формула была выведена также в упражнении 22 [уравнение (50)].
в) Энергия фотона E и соответствующая ей классическая частота электромагнитной волны связаны друг с другом равенством E=h/c^2· (см. упражнение 72).
Поэтому уравнение (120) переписывается для частот в виде'
=
ch
r
·
(1-
r
cos )
.
Зная лишь, какая частота наблюдается в данной системе отсчёта, ещё невозможно сказать, чему равна частота в той системе, где источник излучения покоится. Итак, когда мы измеряем в нашей системе отсчёта частоту, мы никоим образом не получаем прямой информации о скорости источника относительно нашей системы.
76. Распад -мезона; подробный пример
Решение дано в тексте.
77. Полёт неоновой лампочки
Пока неоновая лампочка находится на большом расстоянии от наблюдателя и быстро к нему приближается, её свет для наблюдателя очень ярок (эффект прожектора; упражнение 22) и далеко сдвинут в синюю сторону (частоты в диапазоне фиолетовых и ультрафиолетовых волн — эффект Допплера; упражнение 75). Затем яркость резко понизится (наблюдатель окажется вне «луча прожектора»), когда косинус угла, образованного лучом зрения и осью x, станет равен r. В момент наибольшего сближения лампочки с наблюдателем её свет будет уже испытывать красное смещение (см. формулу (120) при =90°, cos =0). Когда лампочка будет улетать прочь, её свет будет очень слабым и далеко сдвинут в красную сторону (частоты в диапазоне дальних красных и инфракрасных волн).
78. Физик и светофор
Учитывая в уравнении (120), что энергия E пропорциональна частоте , а cos =-1, получим
'
=
ch
r
·
(1+
r
)
1+r
1-r
1/2
.
Подставляя сюда =c/, найдём
'
=
1-r
1+r
1/2
или
r
=
1-('/)^2
1+('/)^2
.
При '/=(5300 A)/(6500 A)=0,81
('/)^2
=
0,66
,
так что
r
=
0,34/1,66
=
0,20
.
откуда
v
r
=
r
c
=
6·10
м
/
сек
=
=
216·10
км
/
час
=
13·10
миль
/
час
,
так что штраф составит приблизительно 130 миллионов долларов.
79. Допплеровское смещение на краю диска Солнца
На экваторе Солнца линейная скорость вращения, направленная по касательной к его поверхности, равна