Физика пространства - времени
Шрифт:
v
=
2r
T
=
2
210 м
(24,7 дней)(86 400 сек/день)
=
=
2,1·10^3
м
/
сек
,
так что
=
v
c
=
7·10
.
Из формулы (120) для эффекта Допплера, приняв =0, а cos =1, получим
'
=
1-r
1+r
1/2
или
=
'
1-r
1+r
1/2
'
1
–
7·10
2
1
–
7·10
2
'
(1-7·10)
,
так
=-
7·10
.
Сдвиг будет происходить в голубую сторону, когда излучающая точка приближается к Земле, и в красную, когда она удаляется от Земли. Полученная величина относительного допплеровского сдвига частоты сравнима с величиной относительного гравитационного сдвига также в случае Солнца 2·10 (см. упражнение 73).
80. Расширяющаяся Вселенная
а) Согласно условиям задачи,
'
=
4870 A
,
=
7300 A
,
=
'
=
.
Формулу (120) можно записать в виде
E
E'
=
'
=
1-r
1+r
1/2
или
r
=
1-('/)^2
1+('/)^2
.
Так как '/=0,67, ('/)^2=0,45 то скорость равна
r
=
0,55
1,45
=
0,38
.
б) Для того чтобы со скоростью =0,38 (в единицах скорости света) пройти расстояние 5·10 световых лет, требуется (5·10)/0,38=13·10 лет. Если на более раннем этапе скорость была больше (гравитация произвела в дальнейшем торможение), то это же расстояние могло быть пройдено за более короткий срок. Поэтому, учитывая замедляющее влияние тяготения в прошлом, мы придём к меньшему сроку, прошедшему с момента начала расширения.
81. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера
Пусть время путешествия туда и обратно равно t в системе отсчёта Павла и t' — в системе отсчёта Петра. Тогда полное число пульсаций переменной звезды одно и то же в обеих системах отсчёта и равно соответственно 't'=t. Промежуток времени t, который покажут часы брата, оставшегося на Земле, равен t=('/)t. Найдём отношение частот по формуле (122), имея в виду, что переменная наблюдается домоседом Павлом под углом 90° к направлению движения Петра (=90°, cos =0). Отсюда получим
t
=
t'
ch
r
.
В упражнении 27 было указано, что скорость равна r=24/25, так что
ch
r
=
(1-
r
^2)^1
/
^2
=
[1-(24/25)]^1
/
^2
=
=
(69/625)^1
/
^2
=
25/7
.
Поэтому,
если t'=7 лет, то t=255 лет, что уже было получено в упражнении 27.82. «Не превышайте скорости»
Скорость приближающейся машины равна vr=80 миль/час=36 м/сек. Отсюда
r
=
vr
c
=
12·10
Частота ' в системе отсчёта машины может быть получена из уравнения (122), если принять =. Ограничиваясь в разложении членами первой степени по r, найдём
'
=
пад
1+r
1-r
1/2
пад
1
+
r
2
1
+
r
2
,
'
=
пад
(1+
r
).
Затем радиолокационный луч отражается от машины в противоположном направлении, и при этом в системе отсчёта машины частота ' остаётся неизменной. Частоту, наблюдаемую в системе отсчёта автострады (лаборатории), можно найти из уравнения, обратного (122) (см. первую формулу в упражнении 76),
отр
=
'
ch
r
·
(1+
r
cos ').
Теперь '=0, так что
отр
=
'
1+r
1-r
1/2
'
(1+
r
).
Подставляя сюда полученное выше выражение для ' найдём
отр
пад
(1+
r
)^2
пад
(1+2
r
).
Сдвиг частоты приблизительно равен
отр
–
пад
=
пад