Физика пространства - времени

3) Зритель, визуально проводящий наблюдения в лабораторной системе отсчёта, утверждает: «Куб на самом деле повернулся, а не претерпел лоренцево сокращение».

Как сформулировать в одной или двух фразах корректное высказывание, которое показало бы каждому из этих наблюдателей, что его партнёры должны были прийти к иным заключениям, чем он?

51**. Парадокс часов. III

Можно ли улететь в место, удалённое на 7000 световых лет, и вернуться назад, постарев не более чем на 40 лет? «Да!»— к такому выводу пришёл инженер в правлении некой большой авиационной фирмы в своём последнем отчёте. Он рассмотрел путешественника, подвергающегося постоянному ускорению 1 g (или такому же торможению, в зависимости от этапа полёта; см. диаграмму пространства-времени на рис. 75). Верен ли его вывод при сделанных им предположениях? (Ради простоты, ограничьтесь анализом первого этапа путешествия, когда действует двигатель A, т.е. первыми десятью годами во времени астронавта, а затем удвойте пройденное при этом расстояние, чтобы узнать, какой путь проделан до самой дальней точки, достигнутой в путешествии).

Рис. 75. Мировая линия ракеты, движущейся по замкнутому пути с постоянным ускорением или торможением.

а) Ускорение не равно g=9,8 м/сек^2 относительно лабораторной системы отсчёта. Если бы оно было таким, то во сколько раз быстрее света двигался бы космический корабль к концу десятилетнего полёта? (1 год = 31,6·10 сек). Если мы определяем ускорение не по отношению к лабораторной системе отсчёта, то по отношению к чему же мы его определяем? Обсуждение. Взглянем на медицинские весы, на которых стоит астронавт. Двигатели корабля пусть будут давать такую тягу, чтобы весы всё время показывали правильный вес. При этих условиях астронавт всё время подвергался ускорению g=9,8 м/сек^2 по отношению к такому космическому кораблю, который: 1) был бы мгновенно сопутствующим первому, так чтобы их скорости в этот момент совпадали, однако 2) не подвергался бы ускорению и поэтому 3) мог бы быть принят за инерциальную (мгновенную) систему отсчёта, ускорение относительно которой равняется g (Начиная с этого места, мы переходим от g, выраженного в м/сек^2, к g*=g/c^2, выраженному в метрах пути за квадрат метров времени).

Рис. 76. Регистрация ускоренного движения ракеты в лабораторной системе отсчёта.

б) Какую скорость разовьёт космический корабль за данный промежуток времени? Но мы сразу же подвергнем этот вопрос критике и перефразируем его. Дело в том, что скорость — недостаточно простая для исследования величина. Простым является параметр скорости , и его простота состоит в аддитивности. Смысл же аддитивности в том, что, если параметр скорости космического корабля на рис. 76 относительно воображаемой мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта меняется от 0 до d за время d по часам астронавта, то параметр скорости этого корабля по отношению к лабораторной системе отсчёта за тот же промежуток времени по часам астронавта изменится от своего первоначального значения до значения +d. Свяжем теперь величину d с ускорением g* в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. В этой системе

g*

d

=

d

th d

d

,

так что

d

=

g*

d

.

(64)

По прошествии каждого интервала времени d по часам астронавта происходит соответствующее увеличение параметра скорости космического корабля на d=g*d. Полная величина параметра скорости космического корабля в лабораторной системе отсчёта просто-напросто равна сумме всех этих последовательных увеличений параметра скорости. Пусть вначале космический корабль покоился. Тогда его параметр скорости линейно возрастал пропорционально величине истёкшего времени по часам астронавта согласно уравнению

=

g*

.

(65)

Так определяется параметр скорости космического корабля в лабораторной системе отсчёта в любой момент времени x в системе отсчёта астронавта.

в) Какое расстояние в лабораторной системе отсчёта x покрывает космический корабль за данный промежуток времени в системе отсчёта астронавта? В каждый момент скорость космического корабля в лабораторной системе отсчёта связана с его параметром скорости уравнением dx/dt=th , так что расстояние dx, пройденное за лабораторное время dt равно

dx=th dt.

Вспомним, что соответствующие промежутки времени по часам астронавта dx представляются как более длинные промежутки dt в лабораторной системе отсчёта (замедление хода времени), и между ними существует связь

dt=ch d.

Отсюда расстояние в лабораторной системе отсчёта dx, пройденное за время d по часам астронавта, равно

dx

=

th

ch

d

=

sh

d

.

Подставляя сюда выражение =g* из пункта (б), найдём

dx

=

sh(g*)

d

.

Просуммируем (проинтегрируем) все эти малые перемещения dx, начиная с момента «нуль» во времени астронавта и до конечного момента по этому времени; мы получим

x

=

1

g*

[ch(g*)-1]

.

(66)

Так выражается расстояние x в лабораторной системе отсчёта, покрытое космическим кораблём за любое данное время в системе отсчёта астронавта.

г) Переведём g* (в м/м^2) в g=g*c^2 (в м/сек^2) и (в м) в _сек=/c (в сек) в формуле (66). Выясним, был ли прав инженер, заключив в своём отчёте о возможности полёта, упомянутого в начале этого упражнения (1 год 31,6·10 сек).

52*. Наклонный стержень

Рис. 77а. Метровый стержень движется перпендикулярно самому себе (наблюдение в лабораторной системе отсчёта).

Рис. 77б. Движение метрового стержня, наблюдаемое в системе отсчёта ракеты.

Метровый стержень, параллельный оси x, движется в положительном направлении оси y в лабораторной системе отсчёта со скоростью ^y. В системе отсчёта ракеты этот стержень несколько наклонён вверх в положительном направлении оси x'. Объясните, почему это так, причём сначала не пользуясь уравнениями. Пусть центр метрового стержня проходит через точку x=y=x'=y'=0 в момент t=t'=0, как это изображено на рис. 77а и 776. Вычислите затем величину угла ', образованного метровым стержнем и осью x' в системе отсчёта ракеты. Обсуждение. Где и когда пересекает правый конец метрового стержня ось x с точки зрения лабораторной системы отсчёта? Где и когда пересекает правый конец метрового стержня эту ось с точки зрения системы отсчёта ракеты? Экспериментально наблюдаемая томасовская прецессия электрона в атоме (см. упражнение 103) может быть объяснена тем же самым путём, что и явление наклона метрового стержня.

53*. Парадокс метрового стержня ¹)

¹) См. R. Shaw, American Journal of Physics, 30, 72 (1962).

Замечание. До того как приступать к упражнению 53, следует разобраться в упражнении 52.

Метровый стержень, параллельный оси x лабораторной системы отсчёта, движется в ней по направлению к началу координат со скоростью _r. Очень тонкая пластинка, параллельная плоскости xy в лабораторной системе отсчёта, движется в ней вверх в направлении оси y со скоростью ^y. В пластинке имеется круглое отверстие диаметром 1 м, в центре которого проходит ось y. Центр метрового стержня оказывается в начале пространственных координат лабораторной системы отсчёта в тот момент, когда движущаяся вверх пластинка достигает плоскости y=0. Так как метровый стержень претерпел лоренцево сокращение в лабораторной системе отсчёта, то он без труда проходит сквозь отверстие в пластинке. Поэтому в ходе движения метрового стержня и пластинки между ними не произойдёт соударения. Однако кто-нибудь может выдвинуть возражение против этого вывода и аргументировать его следующим образом: в системе отсчёта ракеты, где метровый стержень покоится, он не подвергнут сокращению, но зато в этой системе лоренцево сокращение испытывает отверстие в пластине. Поэтому невозможно, чтобы сохраняющий свою полную длину метровый стержень прошёл через сжавшееся отверстие в пластинке. Таким образом, соударение между метровым стержнем и пластинкой неизбежно. Разрешите этот парадокс, используя ответ, полученный в предыдущем упражнении. Ответьте без всяких оговорок на вопрос: произойдёт соударение метрового стержня с пластинкой или нет?

Рис. 78. Сможет ли метровый стержень пройти без соударения сквозь отверстие диаметром 1 м?

54**. Тонкий человек на решётке ¹)

¹) W. Rindler, American Journal of Physics, 29, 365 (1961).

Некто имеет обыкновение ходить крайне быстро — настолько быстро, что релятивистское сокращение длин делает его очень тонким. Когда он идёт по улице, ему нужно пройти по канализационной решётке. Человек, стоящий рядом с решёткой, не сомневается, что быстро идущий тонкий человек провалится в отверстие решётки. Однако с точки зрения быстрого ходока он сам обладает обычными размерами, а релятивистское сокращение претерпевает решётка. Для него отверстия в решётке много уже, чем для спокойно стоящего человека, и, конечно, он не думает о возможности провалиться. Кто же здесь прав? Ответ связан с относительностью свойства жёсткости.