Физика пространства - времени

p

=

m

=

m th

ньютоновский

импульс,

размерность массы

(74)

Эти два выражения для импульса различаются множителем

dt

d

=

ch

1

1-^2

,

который определяет отношение между лабораторным временем и собственным временем, регистрируемым часами, летящими вместе с частицей. Этот множитель совпадает с коэффициентом в формуле замедления хода времени (см. упражнение 10). Присутствие такого множителя в релятивистской формуле для импульса показывает, что частица способна нести с собой в процессах столкновений сколь угодно большой импульс, если только она движется со скоростью, близкой к скорости света. Этого никак нельзя было ожидать, опираясь на неверную в этом случае ньютоновскую формулу для импульса p=m, где m — постоянная, а не может превышать единицы.

Таким образом, выражение для импульса быстро движущихся частиц существенно отличается от предсказываемого теорией Ньютона. Однако процедура определения массы некоторой новой частицы, принявшей участие в процессе столкновения, в принципе одна и та же как в релятивистской, так и в ньютоновской механике. Её суть может быть выражена по-разному: 1) как принцип действия и противодействия; 2) как принцип, связывающий отдачу ружья с импульсом пули; 3) как закон сохранения импульса.

Определение массы неизвестной частицы по упругому столкновению её со стандартной частицей

Рис. 86. Скорости до и после лобового упругого столкновения, наблюдаемые в той системе отсчёта, где полный импульс равен нулю.

Рассмотрим специально лобовое упругое столкновение: 1) стандартной частицы массы m (пусть величина этой массы произвольно устанавливается Международным комитетом мер и весов) и 2) исследуемой частицы, обладающей пока неизвестной массой m величину которой нам нужно определить. Говоря, что столкновение является лобовым и упругим, мы имеем в виду существование такой системы отсчёта, в которой зарегистрированные до и после соударения данные о скоростях частиц обнаруживают симметрию, изображённую на рис. 86. Эта симметрия состоит в том, что полный импульс меняет свой знак на обратный в результате соударения. Но ведь полный импульс при соударении сохраняется! Значит, этот полный импульс должен быть равен нулю. Итак, импульсы наших двух частиц после столкновения должны удовлетворять условию

m

dx

d

+

m

dx

d

=

0.

Из этого соотношения можно получить выражение неизвестной массы в единицах известной массы стандартной частицы:

m

m

=

(-dx/d)

(dx/d)

=

=

– x

(t)^2-(x)^2

x

(t)^2-(x)^2

x

.

(75)

Здесь x и x — расстояния, пройденные каждой из двух частиц из точки соударения до точек наблюдения, а t и t — соответствующие времена движения. В случае упругого столкновения нерелятивистских частиц правая сторона равенства (75) принимает ньютоновский вид

m

m

=-

=

– x/t

x/t

ньютоновский

предел

.

(76)

Простота релятивистского определения импульса не может быть вполне оценена, пока импульс не рассматривается как пространственная часть 4-вектора энергии-импульса. И только тогда становится ясно, что баланс энергии в процессах столкновения может служить косвенной проверкой закона сохранения импульса, так что к бесчисленному множеству непосредственных экспериментальных способов проверки закона сохранения импульса добавляется ещё этот косвенный способ.

12. 4-ВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА

Для того чтобы представить себе импульс и энергию как части более обширного единого целого, полезно вспомнить, как пространство и время объединяются, становясь частями также более обширного единого целого. Рассмотрим переход частицы из мировой точки (события) A в пространстве-времени в соседнюю мировую точку B. Идея объединения пространства и времени состоит в том, чтобы рассматривать 4-вектор, соединяющий A и B ¹). Компоненты этого 4-вектора (смещения dx, dy, dz и dt) имеют разные значения в зависимости от того, в какой системе отсчёта рассматривается этот 4-вектор. Несмотря на произвольный способ описания 4-вектора AB, который мы выберем, этот 4-вектор оказывается вполне строго определён. Не только интервал имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта! Что ещё более важно, расположение самих событий A и B, а значит, и положение 4-вектора AB в пространстве-времени определяются так же строго, как положение двух городских ворот, независимо от того, какие координаты мы используем, и даже независимо от того, используем ли мы вообще какие бы то ни было координаты.

¹) В 1872 г. в своей лекции в ознаменование вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн провозгласил новую точку зрения на геометрию, что оказало решающее влияние на современную геометрию. Ключевой пункт его идеи состоял в проведении различия между геометриями разного рода, исходя из законов преобразования компонент величин. Например, можно с полной ясностью увидеть различие между эвклидовой геометрией и лоренцевой геометрией реального физического мира на основании используемого ныне определения вектора:

4-вектор определяется заданием в каждой инерциальной системе отсчёта четырёх чисел (различных в разных системах!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами отсчёта по формулам преобразования Лоренца (32).

3-вектор определяется заданием в каждой эвклидовой системе координат трёх чисел (компонент, различных в разных системах координат!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами координат по соответствующим формулам преобразования поворота геометрии Эвклида (29).

Зная, что некоторая величина — вектор, и зная значения её компонент лишь в одной системе отсчёта, можно сразу же найти значения её компонент в любой другой системе отсчёта, используя соответствующий 3- или 4-мерный закон преобразования компонент.

Энергия как четвёртая компонента 4-вектора энергии-импульса

Мы ожидаем, что подобным же образом можно будет понять смысл импульса и энергии частицы на любом заданном этапе её истории, понять их как компоненты и не более как компоненты 4-вектора, существующего независимо от всякого выбора координат. Более того, связь такого «4-вектора энергии-импульса» с 4-вектором смещения AB не будет ни косвенной, ни далёкой. Разве может быть что-либо более последовательным и прямым, чем следующая цепочка рассуждений:

1) Берётся 4-вектор смещения AB с компонентами

dt

,

dx

,

dy

,

dz

(см. рис. 87).

Рис. 87. 4-вектор перемещения AB, соединяющий события A и B на мировой линии частицы. Он изображён здесь для частного случая, когда y- и z- компоненты перемещения dy и dz одновременно равны нулю.

2) С помощью 4-вектора AB строится единичный касательный вектор путём деления его на интервал собственного времени

d

=

(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2

,

взятый между мировыми точками A и B компоненты этого касательного вектора

dt

d

,

dx

d

,

dy

d

,

dz

d

изображены на рис. 88.

Рис. 88. Единичный касательный вектор к мировой линии частицы, полученный делением 4-вектора перемещения AB (рис. 87) на инвариантный интервал собственного времени d. Временная и пространственная компоненты единичного вектора касательной равны