Физика пространства - времени

Идеализируем эту задачу: пусть метровый стержень скользит вдоль самого себя по гладкому столу. Пусть на пути этого стержня имеется отверстие шириной 1 м. Если лоренцево сокращение уменьшает длины в 10 раз, то в системе отсчёта стола (лаборатория) стержень имеет в длину 10 см и явно провалится в метровое отверстие. Предположим, что в лабораторной системе отсчёта метровый стержень движется настолько быстро, что в ходе падения в отверстие сохраняет горизонтальную ориентацию (наклона в лабораторной системе нет). Запишите в лабораторной системе отсчёта уравнение движения нижнего края метрового стержня, приняв, что t=t'=0 в тот момент, когда задний конец метрового стержня пересекает край отверстия, вступая в него. При малых значениях вертикальной составляющей скорости стержень будет падать с обычным ускорением g. В системе отсчёта метрового стержня (ракеты) этот стержень имеет длину 1 м, тогда как отверстие подверглось лоренцеву сокращению в 10 раз. Теперь ширина отверстия 10 см, и стержень никак не может упасть в него. Произведите преобразование, переведя уравнения движения из лабораторной системы в систему отсчёта ракеты, и покажите, что стержень «перегнётся» в этой последней системе через край отверстия, иначе говоря, он не будет жёстким (твёрдым). Упадёт ли в конце концов стержень в отверстие в обеих системах отсчёта? Будет ли стержень на самом деле твёрдым или деформируемым в ходе этого опыта? Можно ли найти какие-либо физические характеристики этого стержня (например, степень его гибкости или сжимаемости), исходя из того описания его движения, которое даёт нам теория относительности?

54а. Измерение скорости стандартного объекта одиночным наблюдателем — подробный пример ¹)

¹ Упражнение добавлено переводчиком - Прим. ред.

Построение системы отсчёта при помощи решётки с часами — почти всегда умозрительная операция. Более того, мы вынуждены описывать множество объектов и происходящие с ними процессы, не приходя с этими объектами в прямой контакт. Так, например, астрономические наблюдения дают информацию о чрезвычайно далёких звёздах и галактиках, которые не только нам никогда не удастся посетить (см. упражнение 104), но даже луч радиолокатора, посланный из Солнечной системы, не смог бы вернуться к нам за исторически разумные сроки, отразившись от этих удалённых объектов (мы уже не говорим об интенсивности отражённого луча). Всё человечество в астрономических масштабах — это одна мировая линия (двойная планетная система Земля — Луна не более чем типографская точка, если изобразить на листе бумаги Солнечную систему). Поэтому рассмотрим такого одиночного наблюдателя, получающего всю возможную информацию из внешнего мира через приходящий к нему, независимо от его воли, свет — через световой конус прошлого . Понятие одновременности для такого наблюдателя представляет лишь академический интерес, гораздо важнее для него понятие «одновременно наблюдаемого». Один из кинематических эффектов, проявляющихся при наблюдениях с помощью светового конуса прошлого, рассмотрен в упражнении 50. Здесь мы рассмотрим вопрос о том, чему равна «одновременно наблюдаемая» скорость объекта, летящего вдоль луча зрения наблюдателя.

Пусть стандартный предмет (например, пятикопеечная монета) равномерно и прямолинейно движется вдоль луча зрения наблюдателя. Сначала предмет летит на наблюдателя; в момент встречи наблюдатель может быстро пригнуться ²), чтобы пропустить предмет; затем предмет удаляется от наблюдателя. Так как размеры предмета стандартные, наблюдатель может по углу зрения, под которым виден предмет, определить расстояние до него. По изменению этого «одновременно наблюдаемого» расстояния со временем можно определить «одновременно наблюдаемую» скорость движения объекта.

²) Для человечества «пригнуться» было бы затруднительно.

а) Требуется показать, что эта скорость равна

_до

=

1-

до встречи объекта с наблюдателем и

_после

=

1+

после встречи. Здесь — обычная скорость объекта, выраженная в единицах скорости света (так как движение происходит по лучу зрения, достаточно ограничиться её абсолютной величиной), а —«одновременно наблюдаемая» скорость. Попутно следует обосновать возможность находить расстояние до объекта по угловым размерам.

б) Требуется наглядно показать, рассматривая движение предмета с околосветовой скоростью (в обычном смысле), почему возникает асимметрия в «одновременно наблюдаемой» скорости между случаями до и после встречи. Нельзя ли в качестве объекта взять сам свет?

Решение.

Рис. 78а.

а) Так как «одновременно наблюдаемую» скорость предмета требуется выразить через обычную скорость , предполагается, что мы знаем больше, чем наш наблюдатель, и стоим, так сказать, над ним. Поэтому мы можем изобразить рассматриваемую ситуацию на диаграмме пространства-времени (рис. 78а), где наблюдатель покоится,— его мировая линия совпадает с осью времени. Наблюдения проводятся регулярно, через каждые t метров светового времени (таким образом, речь идёт не о периодически вспыхивающем объекте, как в упражнении 6, а о постоянно светящемся). Объект движется по лучу зрения (ось x), и наблюдатель видит лишь его поперечное сечение, а так как лоренцево сокращение происходит в направлении движения объекта, видимое сечение не зависит от скорости движения. Поэтому, зная абсолютный поперечник объекта, наблюдатель по его угловым размерам без труда определит расстояние: оно равно отношению линейных размеров объекта к его угловым размерам, выраженным в радианах. Чему же соответствует это расстояние на диаграмме пространства-времени? По методу определения оно должно совпадать с расстоянием от наблюдателя до другого такого же стандартного объекта, который покоился бы относительно наблюдателя и находился в том месте, где пролетал движущийся объект в момент, когда он излучил принятый при измерении углов свет. Поперечные сечения обоих объектов, очевидно, совпадают. Иначе говоря, мировые линии вспомогательного покоящегося объекта и основного движущегося объекта должны пересекаться в мировой точке испускания светового луча, по которому производилось измерение расстояния. Итак, искомое расстояние должно быть равно расстоянию до определённого таким образом вспомогательного объекта (ведь он всё время покоится!). Это расстояние по построению равно координате x мировой точки испускания «измерительного» луча. Проведём вычисления отдельно для наблюдений до встречи с движущимся объектом и после этой встречи.

1) До встречи. Рассматривается левая ветвь светового конуса прошлого. Её уравнение на плоскости t, x имеет вид

t

=

x

+

n

t

.

Здесь n=-1, -2, -3, … и уравнение описывает световой луч, проходящий через точку nt на оси t. В свою очередь мировая линия движущегося объекта описывается уравнением

t

=

x

.

Исключая из этих двух уравнений t, найдём

x

=

x

+

n

t

.

Поскольку теперь x полностью определяется выбором числа n (обычная скорость и периодичность наблюдений t считаются уже заданными), естественно принять x=x_n. Тогда

x

_n

1

–

1

=

n

t

или

x

_n

=

1-

tn

.

Отсюда

x

=

x

_n+1

–

x

_n

=

1-

t

,

и искомая «одновременно наблюдаемая» скорость до встречи равна

_до

=

x

t

=

1-

,

что и требовалось получить.

2) После встречи. В этом случае берётся правая ветвь светового конуса прошлого, уравнение которой записывается в виде

t

=-

x

+

n

t

,

Подставляя сюда t из уравнения мировой линии стандартного объекта, получим

x_n

=-

x

+

n

t

откуда

x

_n

=

1+

tn

и

_после

=

x

t

=

1+

,

т.е. искомая «одновременно наблюдаемая» скорость после встречи. Так как <1, то очевидно, что _после<<_до.

б) Исследуем поведение «одновременно наблюдаемых» скоростей при ->1:

_до

– >

,

_после

– >

1

2

.

Рис. 78б.

Рис. 78в.

На рис. 78б показано наблюдение объекта, движущегося практически со скоростью света. Мы видим, что свет приходит к наблюдателю вместе с объектом, т.е., с точки зрения одиночного наблюдателя, объект «мгновенно» пришёл из точки своего «рождения». При удалении объекта свет от него продолжает всё время поступать к наблюдателю, так как скорость распространения света не зависит от скорости движения его источника. При этом, конечно, мы не учитываем тонкостей, связанных с интенсивностью света, о которых говорилось в упражнении 22. Детализируя рис. 78б (см. рис. 78в), нетрудно получить непосредственно предельное значение «одновременно наблюдаемой» скорости после встречи. Вспомним, что эта скорость определяется как отношение изменения x-координаты точки излучения света объектом к соответствующему изменению t-координаты точки приёма этого света (момент измерения):

_после

=

OT

t

(см. обозначения на рис. 78в). Теперь t=OP=PU. Так как в пределе скорость объекта принимается равной скорости света (=1), то

OR

=

t

=

t

;

отсюда и из подобия треугольников OTS, ORQ, OSP и OQU следует

_после

=

OT

t

=

OT

OR

=

OS

OQ

=