Физика пространства - времени
Шрифт:
в лабораторной системе отсчёта.
1) Почему не px а px? В четырёхмерной геометрии пространства-времени в отличие от эвклидовой геометрии пространства существенно расположение индекса (см. подробности относительно стандартных обозначений в примечании на стр. 157).
В системе отсчёта ракеты компоненты импульса даются выражениями, аналогичными формулам (71) с той лишь разницей, что в них фигурируют dx', dy' и dz' — компоненты перемещения, измеренные в системе отсчёта ракеты. Интервал собственного времени d' между двумя близкими событиями на мировой линии частицы обладает одним и тем же значением при вычислении исходя из данных, полученных на ракете, и при вычислении на основании лабораторных измерений («инвариантность интервала»). Поэтому излишне различать d и d'. Кроме того, величина dy' (в системе отсчёта ракеты)
p
y
=
m
dy
d
и
p
z
=
m
dz
d
,
перпендикулярные к направлению движения ракеты относительно лабораторной системы отсчёта, не зависят от скорости этого движения.
Импульс аналогичен перемещению в том отношении, что поперечные компоненты этих обоих векторов не зависят от скорости движения наблюдателя. Такая аналогия этих двух векторов имеет очень простую причину: импульс получается из перемещения (x, y, z) путём умножения на величину m/, одинаковую во всех инерциальных системах отсчёта!
Массу наиболее целесообразно определять как не зависящий от скорости коэффициент в выражении для импульса
Из исследования импульса, проделанного на рис. 85, ясно, что величина m — это масса в том смысле, в каком её понимают в ньютоновской механике. Поэтому m есть величина постоянная, одинаковая для всех скоростей, всех положений и всех моментов времени. Всё различие между релятивистской формулой для импульса (например, m·dx/d) и соответствующей ньютоновской формулой (m·dx/dt) сводится поэтому к различию между собственным и лабораторным временем, а не к различию в m при этих двух описаниях природы. В некоторых прежних изложениях теории относительности ньютоновское выражение для импульса (m·dx/dt) исправлялось не путём простой замены dt на d, принятой сейчас, а путём введения «массы движения», зависящей от скорости таким образом, чтобы можно было продолжать пользоваться формулами типа Ньютона, например:
p
x
релятивистская
величина
=
m
движения
·
dx
d
.
Эта масса движения должна тогда быть равна
m
движения
=
m
dt
d
=
m
1-^2
.
(72)
Такое обозначение ещё можно иногда встретить. Однако в физических рассуждениях полезнее всего использовать величины, одинаковые во всех системах отсчёта, такие, как m и d. Этот факт сейчас получает всё более широкое признание. Поэтому мы будем обычно понимать под термином «масса» не зависящую от скорости величину m.
Рис. 85. Вывод релятивистского выражения для импульса из закона сохранения импульса в случае скользящего соударения.
Частица B движется настолько медленно, что ньютоновское выражение для импульса представляет собой сколь угодно хорошее приближение для её импульса: (Импульс)=m·yB/tB Здесь tB — время, за которое частица B пролетает расстояние yB от нижней границы рисунка до точки соударения. Это лабораторное время по своей величине сколь угодно близко к собственному времени полёта B по той же причине, а именно потому, что скорость B может быть выбрана сколь угодно малой. (Пример: при =0,01 относительное различие величин и t составляет 5·10). Поэтому импульс B можно записать как m·yB/B. Зная величину импульса B, можно найти величину импульса pA частицы A, сравнивая изображённые здесь диаграммы для импульса и для перемещения A (правило подобных треугольников). Для частицы A y-компонента перемещения может быть сделана равной y-компоненте перемещения частицы B (симметричное расположение «пола» и «потолка», о которые ударяются соответственно A и B): yA=yB=y. Промежуток собственного времени между моментами соударения и удара об пол (потолок) также один и тот же для A и B: A=B.
Доказательство 1) Движение частицы A в системе отсчёта ракеты совпадает с движением частицы B в лабораторной системе отсчёта (ср. рис. 83 и 84). Поэтому собственные времена полёта равны одно другому: (A)система ракеты = (B)лабораторная система.
2) Но собственное время между двумя событиями (столкновение и удар) одинаково во всех системах отсчёта, т.е. (A)лабораторная ракеты = (A)система ракеты.
3) Следовательно, (A)лабораторная ракеты = (B)лабораторная система.
что и требовалось доказать. Конечно, лабораторные часы показывают совершенно разные продолжительности полётов частиц A и B, если A обладает скоростью, близкой к скорости света: (tA)^2лабораторная ракеты = = (A)^2лабораторная ракеты + (xA)^2лабораторная ракеты >> >> (A)^2лабораторная ракеты = = (B)^2лабораторная ракеты = (tB)^2лабораторная ракеты .
Поэтому импульс частицы A в конце концов выражается непосредственно через величины, которые относятся лишь к движению A: pA = m
rA
A .
Переходя от конечных разностей к производным и вспоминая, что импульс и перемещение обладают одним и тем же направлением, получим p = m
dr
d .
Это и есть релятивистская формула для импульса, справедливая для частицы, обладающей сколь угодно высокой энергией.
Релятивистский импульс сводится к ньютоновскому в пределе малых скоростей
Насколько велико различие между релятивистским и ньютоновским выражениями для импульса? Релятивистское выражение для импульса должно сводиться к ньютоновскому, когда скорости частиц малы. Такие медленные частицы проходят путь, много меньший одного метра за один метр времени (dr/dt). Тогда собственное время (dt)^2-(dr)^2=1-^2·dt при любом перемещении медленной частицы очень мало отличается от координатного времени dt:
d
dt
(для медленной частицы),
причём для =0,01 это равенство справедливо с точностью до 5 : 100 000 и стремится к тождественному совпадению при ->0. При этом релятивистское выражение для импульса p=m·dr/d совпадает с ньютоновским выражением p=m·dr/dt величина m одна и та же (инвариант m!).
В некоторых случаях удобнее выражать импульс через параметр скорости частицы , а иногда через её скорость =th . Тогда
p
=
m
dr
d
=
m
dr
(dt)^2-(dr)^2
=
=
m·dr/dt
=
1
–
dr
^2
1/2
dt
=
m
1-^2
=
m th
1-th^2
=
=
m th
=
ch^2
–
sh^2
1/2
ch^2
ch^2
m th ch
ch^2-sh^2
=
m sh
,
так что
p
=
m sh
=
m
1-^2
релятивистский
импульс,
размерность массы
(73)
Другой вид имеет ньютоновское выражение для импульса: