Физика пространства - времени

¹) По ряду причин удобно выражать квадрат абсолютной величины 4-вектора через все четыре компоненты этого вектора, однако при этом следует быть несколько более внимательным, чем при записи квадрата 3-мерного вектора в эвклидовом пространстве. В этой книге, как и в большей части современной литературы, 4-векторы записываются через их компоненты с верхними индексами (контравариантные компоненты): p ^t = E = m

dt

d , p ^x = m

dx

d , p ^y = m

dy

d , p ^z = m

dz

d .

В другом представлении используются нижние индексы (ковариантные компоненты), однако все пространственные компоненты при этом меняют знак: p _t = m

dt

d , p _x =- m

dx

d , p _y =- m

dy

d , p _z =- m

dz

d .

Эти два альтернативных представления, использующие контравариантные и ковариантные компоненты (верхние и нижние индексы), применимы не только к p, но и к другим 4-векторам, например к радиусу-вектору R, соединяющему начало координат некоторой инерциальной системы отсчета с каким-либо данным событием (мировой точкой), так что R^t = t , R^x = x , R^y = y , R^z = z

и R_t = t , R_x =- x , R_y =- y , R_z =- z .

В этих обозначениях инвариантный квадрат интервала для события, отделенного от начала временноподобным интервалом, имеет стандартный вид ^2 = R^tR_t + R^xR_x + R^yR_y + R^zR_z = = t^2 - x^2 - y^2 - z^2 .

Если же интервал является пространственноподобным, его квадрат следует записывать как ^2 =-( R^tR_t + R^xR_x + R^yR_y + R^zR_z )= =- t^2 + x^2 + y^2 + z^2 .

4-вектор энергии-импульса является временноподобным 4-вектором по весьма простой причине: ведь две последовательные мировые точки на мировой линии одной и той же частицы разделены временноподобным интервалом. Поэтому квадрат абсолютной величины этого вектора следует вычислять по формуле, аналогичной формуле для ^2, т. е.

Квадрат

абсолютной

величины

= p _t p ^t + p _x p ^x + p _y p ^y + p _z p ^z = =

m^2[(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2]

d^2 = m^2 .

В геометрии Эвклида, где векторы обладают лишь пространственными компонентами, такое различие между верхними и нижними индексами несущественно, и там часто используются лишь нижние индексы, причем в эвклидовой геометрии знак пространственных контравариантных и ковариантных компонент берется один и тот же. Однако в геометрии пространства-времени, где существует разница в знаке пространственных компонент, взятых с верхними или с нижними индексами, необходимо явно учитывать контравариантность и ковариантность компонент. Кроме того, обычно удобнее работать с контравариантными компонентами 4-векторов (верхние индексы!), так как именно эти компоненты часто бывают непосредственно связаны с координатами мировых точек, дифференциалы радиусов-векторов которых являются контравариантными по определению в произвольных системах координат (не только в декартовых).

[В оригинале книги это примечание имело несколько иной вид, а именно авторы приняли, что при переходе от контравариантных к ковариантным компонентам изменяют знак не пространственные, а временная компонента 4-векторов, что позволяет проще увязать изложение с эвклидовой геометрией для 3-мерных векторов. Однако в современной литературе, особенно по общей теории относительности, преобладает противоположный выбор сигнатуры, так что многие авторы перешли к принятой нами здесь записи компонент векторов и в частной теории относительности, например Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц в последнем издании (1967 г.) «Теории поля». Для того чтобы стандартизировать изложение, переводчику пришлось несколько изменить данное примечание, сохранив общий стиль авторов. Следует отметить, что здесь, как и в других частях книги, они предполагают, что используются лишь декартовы системы координат; если бы мы не ограничивались здесь декартовыми координатами (перейдя, например, к сферическим координатам), нам пришлось бы явно проводить различие между ковариантными и контравариантными компонентами векторов уже в 3-мерном эвклидовом пространстве. Тогда радиус-вектор не был бы истинным вектором: свойствами вектора обладали бы лишь его бесконечно малые приращения.— Прим. перев.]

В обеих формулах слагаемые, стоящие справа, зависят от состояния движения частицы или той системы отсчёта, в которой производится наблюдение. Иными словами, отдельные компоненты 4-вектора энергии-импульса (энергия частицы E и её импульс p) обладают разными значениями в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты. Левые части каждого из этих соотношений (масса покоя m и интервал ), напротив, одинаковы во всех системах отсчёта.

Явное выражение для энергии через импульс можно получить из формулы (86), разрешая её относительно E:

E

=

m^2+p^2

.

(87)

Это выражение справедливо в равной мере как при больших, так и при малых импульсах, причём его можно упростить для обоих предельных случаев.

Выражение энергии через импульс: ньютоновский и ультрарелятивистский предельные случаи

Когда импульс p мал по сравнению с m (т.е. когда скорость весьма мала по сравнению с единицей —«нерелятивистский предел»), выражение (87) можно разложить, пользуясь формулой для бинома или каким-либо иным способом, и получить

E=m

1+

p

m

^2

1/2

=m+

p^2

2m

+

p

8m^3

+…

(малые

p

).

При достаточно малых значениях импульса p этот ряд можно с любой степенью точности приравнять его первым двум членам

Em

p^2

2m

(малые

p

).

(88)

Первое слагаемое имеет здесь смысл энергии покоя, а второе представляет собой ньютоновское выражение для кинетической энергии частицы с импульсом p.

Если же импульс p очень велик по сравнению с m («ультрарелятивистский предел»), то точное выражение (87) снова может быть разложено в степенной ряд, на этот раз в виде

E=p

1+

m

p

^2

1/2

=p+

m^2

2p

+

m

8p^3

+…

(большие

p

).

Если импульс достаточно велик, этот ряд можно с любой желаемой степенью точности приравнять его первому слагаемому:

Ep

(ультрарелятивистский предел).

(89)

В этом предельном случае масса покоя не играет роли во взаимной связи импульса и энергии.

Правдоподобно ли, что катеты E и p треугольника на рис. 90 могут неограниченно возрастать, в то время как гипотенуза m остаётся постоянной и оказывается меньше любого из катетов? Возможно ли, чтобы в прямоугольном треугольнике гипотенуза сохраняла постоянную длину, в то время как катеты неограниченно удлинялись? Такое поведение длин гипотенузы и катетов в корне противоречит законам эвклидовой геометрии. Однако рассматриваемая нами геометрия не является эвклидовой, а в лоренцевой геометрии пространства-времени квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов. Поэтому сочетание не изменяющейся в длине гипотенузы с неограниченно растущими и в пределе равными друг другу катетами, E и p, отнюдь не парадоксально.