Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Теперь мы можем найти энергию, которой должен обладать фотон, для того чтобы могло произойти рождение электрон-позитронной пары вблизи покоящегося электрона. Будем рассуждать следующим образом. Перейдём в систему отсчёта, в которой покоится центр масс всех трёх частиц - исходного электрона и образовавшейся электрон-позитронной пары. Разумеется, сами частицы могут при этом двигаться. В этой системе отсчёта полная энергия будет наименьшей, если все три частицы покоятся. Именно такой случай и соответствует наименьшей энергии фотона, необходимой для рождения пары вблизи электрона. При этом мы пренебрегаем энергией кулоновского взаимодействия электронов и позитрона, которая, как и энергия связи электронов в атомах, по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.
Возвращаясь теперь
p
=
h
3c
.
(4)
Используя релятивистскую формулу, выражающую энергию частицы через её импульс, убеждаемся, что и энергия всех трёх частиц одинакова и равна
E
=
p^2c^2+m^2c
=
(h/3)^2+m^2c
.
(5)
Теперь остаётся только воспользоваться законом сохранения энергии. До рождения пары энергия в лабораторной системе отсчёта - это энергия фотона h и энергия покоя электрона mc^2. После рождения пары энергия равна утроенному значению энергии каждой частицы. Поэтому
h
+
mc^2
=
3
(h/3)^2+m^2c
.
(6)
Возведя обе части этого равенства в квадрат и приводя подобные члены, находим значение h пороговой энергии рождения пары вблизи покоящегося электрона:
h
=
4mc^2
.
(7)
Обратим внимание на то, что эта энергия вдвое превышает значение пороговой энергии фотона для рождения электрон-позитронной пары вблизи массивной частицы, например вблизи ядра тяжёлого элемента. Значит, только половина энергии фотона при рождении пары вблизи покоящегося электрона превращается в энергию покоя образовавшихся частиц. Другая половина неизбежно превращается в кинетическую энергию. Это связано с необходимостью обеспечить выполнение закона сохранения импульса.
4. Эффект Доплера.
Читатель наверняка замечал, как меняется высота звука гудка локомотива, когда поезд проносится мимо. Высокий тон гудка приближающегося поезда становится заметно более низким, как только источник звука промчится мимо и начинает удаляться. Такое изменение частоты воспринимаемого сигнала при движении источника звука (или приемника) носит название явления Доплера. Это явление имеет место и в оптике: движущийся атом излучает свет другой частоты по сравнению с неподвижным. Оказывается, что это типично волновое явление может быть правильно объяснено с точки зрения представления о свете как о совокупности световых квантов — фотонов. Опираясь на эти представления, покажите, что при медленном движении излучающего атома (скорость атома v много меньше скорости света c) относительное изменение частоты излучаемого им света / даётся соотношением
=
v
c
cos
,
где - угол между направлением движения атома и направлением испускаемого фотона.
Поскольку мы ничего не знаем о механизме излучения света атомами, нам остаётся только попробовать применить к акту испускания фотона движущимся атомом законы сохранения энергии и импульса. «Закреплённый» неподвижный атом испускает фотон с энергией h при переходе атома из одного стационарного состояния в другое. Разность энергий этих стационарных состояний не зависит от того, покоится атом или
движется.При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Следовательно, кинетическая энергия атома также меняется, и энергия фотона h' испущенного движущимся атомом, отличается от h вследствие изменения кинетической энергии атома.
На основании закона сохранения энергии
h'
–
h
=
p^2
2m
–
p^2
2m
,
(1)
где p - импульс атома массы m до испускания фотона, p - после испускания.
Рис. 4.1. Импульс атома до излучения p равен векторной сумме импульса p после излучения и импульса фотона pф
Начальный и конечный импульсы атома можно связать с импульсом испускаемого фотона pф с помощью закона сохранения импульса (рис. 4.1):
p
=
p
+
p
ф
.
(2)
Перенося pф в равенстве (2) в левую часть, возводя полученное равенство в квадрат и учитывая, что импульс фотона крайне мал по сравнению с импульсом излучающего атома, получаем
p^2
–
2pp
ф
cos
p^2
.
(3)
С помощью (3) соотношение (1) можно переписать в виде
h'
–
h
=
p
m
p
ф
cos
.
(4)
Как записать выражение для импульса фотона pф? Так как импульс электромагнитного поля связан с энергией поля W соотношением W=pc, а энергия испущенного фотона равна h', то импульс этого фотона есть
p
ф
=
h'
c
(5)
Подставляя (5) в (4) и учитывая, что p/m есть скорость движения v излучающего атома, находим
'
–
=
'
v
c
cos
,
откуда
'
=
1
–
v
cos
1
–
v
cos
c
c
(6)
с точностью до членов порядка v/c Из этой формулы следует приведённое в условии соотношение
=
v
c
cos
.
Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. Если в формуле, определяющей сдвиг частоты, положить v=0, то получается . Означает ли это, что свет, излучаемый свободным неподвижным атомом, имеет такую же частоту, как и свет, излучаемый «закреплённым» атомом? Даже из интуитивных соображений ясно, что так быть не может из-за явления отдачи: закон сохранения импульса требует, чтобы в результате излучения фотона свободный атом пришёл в движение. В полученной выше приближённой формуле явление отдачи не учтено, так как при её выводе, переходя от (2) к (3), мы пренебрегали импульсом фотона, считая его малым по сравнению с импульсом излучающего атома. Поэтому в окончательной формуле нельзя полагать v=0, так как приведённое решение справедливо только при выполнении условия h/b<