Физика в примерах и задачах

Какая же максимальная доля первоначальной кинетической энергии может быть использована для возбуждения атома? На этот вопрос легко ответить, если использовать законы сохранения энергии и импульса для процесса столкновения налетающей частицы с невозбуждённым атомом. Энергия возбуждения W представляет собой изменение внутренней энергии атома при переходе из основного состояния в возбуждённое. Энергия налетающей частицы - это её кинетическая энергия mv^2/2, где v - скорость частицы до столкновения.

Не первый взгляд могло бы показаться, что для возбуждения атома наиболее благоприятен случай, когда в результате удара налетающая частица останавливается, передавая атому всю свою энергию. Однако на самом деле оказывается, что в этом случае кинетическая энергия системы после удара не будет наименьшей. Во внутреннюю энергию атома переходит наибольшая часть кинетической энергии частицы, если после столкновения атом и налетевшая частица движутся с одинаковой скоростью, несмотря на то, что какую-то долю своей кинетической энергии налетающая частица при этом сохраняет.

Проще всего в этом убедиться, рассматривая процесс возбуждения атома в системе отсчёта, в которой неподвижен центр масс атома и налетающей частицы. Такая система отсчёта также является инерциальной. Согласно принципу относительности законы, описывающие любые физические явления, одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому во введённой системе, как и в исходной, также выполняются законы сохранения энергии и импульса. Полный импульс в этой системе отсчёта равен нулю, поэтому после столкновения могут остановиться оба тела - и атом, и частица. Если оба тела действительно остановятся, то во внутреннюю энергию атома перейдёт вся первоначальная кинетическая энергия. Но неподвижные в системе центра масс атом и частица имеют одинаковую скорость в исходной лабораторной системе отсчёта. Значит, приращение внутренней энергии атома будет наибольшим в том случае, когда после столкновения и атом, и налетевшая частица имеют одинаковую скорость. Именно такое столкновение и называется абсолютно неупругим ударом, хотя частицы после столкновения не объединяются в одно тело, а движутся независимо.

Запишем законы сохранения энергии и импульса, рассматривая этот наиболее благоприятный для возбуждения атома случай. Обозначим массу атома через M, а скорость атома и частицы после удара через V. Тогда

mv

=

(M+m)V

,

(1)

mv^2

2

=

(M+m)V^2

2

+

W

.

(2)

Мы используем здесь нерелятивистские формулы, так как при интересующих нас энергиях порядка 20 эВ и электрон, и тем более протон движутся со скоростью, много меньшей скорости света.

При заданной энергии возбуждения W уравнения (1) и (2) определяют наименьшую скорость налетающей частицы v и, следовательно, наименьшую энергию mv^2/2, при которой возможно возбуждение атома. Выражая V из (1) и подставляя в (2), находим

mv^2

2

=

1

+

m

M

W

.

(3)

Из этого соотношения видно, что чем легче налетающая частица, тем меньше её энергия, достаточная для возбуждения атома. Например, при возбуждении атома налетающим электроном (m<

Рассмотренный пример позволяет понять, почему при возникновении самостоятельного газового разряда определяющую роль в ионизации столкновениями играют именно электроны, а не тяжёлые ионы, хотя последние тоже ускоряются электрическим полем.

3. Взаимные превращения электронов и фотонов.

Возможно ли излучение и поглощение света свободным электроном? Может ли свободный фотон, обладающий достаточной энергией, превратиться в электрон-позитронную пару?

Может ли свободный электрон излучать свет? На первый взгляд кажется, что испускание фотона свободно движущимся электроном не противоречит законам сохранения энергии и импульса. Действительно, ничто, казалось бы, не мешает электрону, движущемуся с некоторой скоростью v, уменьшить свою скорость, передав испускаемому фотону часть своего импульса и кинетической энергии. Однако, записав законы сохранения энергии и импульса для этого процесса, мы увидим, что одновременно удовлетворить этим законам невозможно. Проще всего в этом убедиться, воспользовавшись эквивалентностью различных инерциальных систем отсчёта: во всех инерциальных системах отсчёта все физические законы одинаковы. Поэтому достаточно доказать невозможность излучения фотона свободным электроном в какой-нибудь одной инерциальной системе отсчёта.

Рассмотрим систему отсчёта, в которой электрон неподвижен. Энергия электрона в этой системе до излучения фотона

E

=

mc^2

.

(1)

После излучения фотона вследствие закона сохранения импульса электрон приобретает некоторую скорость v, и энергия системы электрон плюс фотон даётся выражением

E

=

mc^2

1-v^2/c^2

+

h

.

(2)

где h - энергия испущенного фотона. Сравнивая формулы (1) и (2), видим, что удовлетворить закону сохранения энергии невозможно, ибо E всегда больше E.

Вдумавшись в приведённые рассуждения, легко сообразить, что свободный электрон не может не только излучать, но и поглощать свет. Чтобы в этом убедиться, достаточно просто прочитать приведённые формулы в обратном порядке: соотношение (2) даёт энергию системы электрон плюс фотон до поглощения в системе отсчёта, где суммарный импульс электрона и фотона равен нулю, а соотношение (1) - энергию после поглощения фотона.

Разумеется, приведённые рассуждения справедливы только для элементарных частиц и неприменимы к сложным объектам, состоящим из нескольких элементарных частиц, например к атомам и молекулам. Свободно движущиеся атомы или молекулы могут излучать и поглощать!

Испускать или поглощать фотоны электрон может только тогда, когда он движется с ускорением, например пролетает вблизи ядра и взаимодействует с его электрическим полем.

Итак, мы убедились, что фотон не может просто поглощаться свободным электроном. Но вот исчезнуть при взаимодействии со свободным электроном, породив при этом электрон-позитронную пару, он может. Для этого фотон должен, конечно, обладать достаточной энергией. Какой же именно?

Прежде всего отметим, что превращение фотона (гамма-кванта) в электрон-позитронную пару возможно только в присутствии какой-либо частицы. Без такой частицы этот процесс вообще невозможен в силу закона сохранения импульса. Действительно, предположим, что это произошло, т.е. образовалась электрон-позитронная пара. Всегда существует такая система отсчёта, в которой центр масс электрона и позитрона неподвижен, т.е. полный импульс образовавшейся пары равен нулю. Тогда в этой системе отсчёта должен быть равен нулю и импульс фотона, породившего эту пару. Но это невозможно, так как не существует такой системы отсчёта, в которой фотон покоится. Поэтому фотон может превратиться в электрон-позитронную пару только в присутствии частицы, которая «принимает на себя» его импульс.

Легко сообразить, что необходимая для рождения пары энергия фотона будет тем меньше, чем больше масса M частицы, уносящей импульс фотона. В самом деле, чем массивнее эта частица, тем меньшую кинетическую энергию она при этом приобретает. При m/M<<1 этой кинетической энергией можно вообще пренебречь. Если образовавшиеся электрон и позитрон покоятся, то их энергия будет наименьшей из всех возможных и равной энергии покоя системы 2mc^2. Поэтому наименьшая энергия фотона, при которой вообще возможно образование пары, определяется из соотношения

h

=

2mc^2

.

(3)

Эта энергия носит название пороговой. Подставляя сюда значение массы покоя электрона m=0,91·10^{– 27} г и скорости света c=2,998·10¹⁰ см/с, находим, что пороговая энергия образования электрон-позитронной пары составляет 1,63x10^{– 6} эрг = 1,02·10⁶ эВ. Длина волны гамма-кванта, обладающего такой энергией, =c/=hc/(2mc^2)=1,2·10^{– 10} см = 0,012 A. Такие фотоны встречаются в космическом излучении и возникают при торможении в веществе быстрых заряженных частиц, разогнанных на мощных ускорителях.