Физика в примерах и задачах

Однако применение одного лишь закона сохранения энергии может привести к получению неправильных значений пороговых величин, так как такое энергетическое превращение может оказаться несовместимым с законом сохранения импульса. С подобным примером мы уже встречались в задаче 3 при рассмотрении рождения фотоном электрон-позитронной пары вблизи покоящегося электрона. Поэтому для определения коротковолновой границы сплошного спектра тормозного рентгеновского излучения следует, строго говоря, применить к элементарному акту как закон сохранения энергии, так и закон сохранения импульса.

Испускание рентгеновского фотона может произойти, когда электрон пролетает вблизи какого-либо ядра вещества антикатода, испытывая действие сильного электрического поля. В этом случае электрон может передать часть своего импульса ядру, что обеспечит сохранение полной энергии и импульса всей системы. Поскольку масса ядра много больше массы электрона, то в элементарном акте взаимодействия с электроном, при котором рождается рентгеновский фотон, ядро может «принять на себя» любой импульс, практически не получив при этом никакой энергии. Поэтому закону сохранения импульса не будет противоречить процесс, при котором налетающий электрон останавливается, расходуя всю свою кинетическую энергию только на излучение фотона. Именно этому процессу и соответствует уравнение (4).

В рассуждениях использовалось только то обстоятельство, что масса налетающего электрона много меньше массы ядра. Какое именно ядро участвует в процессе - значения не имеет. Поэтому верхняя граница частоты тормозною излучения h не зависит от материала антикатода. Так как при излучении фотона с энергией электрон передаёт ему всю свою энергию, то совершенно ясно, что при данном V на трубке частота и характеристического излучения не может быть больше значения , определяемого уравнением (4).

Теперь для ответа на второй вопрос задачи нужно только сравнить формулы (3) и (4). Поскольку установившееся значение разности потенциалов U между шариком электрометра и землёй при фотоэффекте определяется именно верхней границей частот падающего рентгеновского излучения, то ускоряющее напряжение на рентгеновской трубке V как раз равно U, т.е. 8 кВ.

7. Узкий электронный пучок.

Для уменьшения размеров пятна на экране электронно-лучевой трубки можно после катода на некотором расстоянии l друг от друга поставить две диафрагмы с отверстиями (рис. 7.1). Покажите, что для второго отверстия существует оптимальный диаметр, соответствующий наименьшему размеру пятна на экране.

Рис. 7.1. Для уменьшения размера пятна на экране можно использовать две диафрагмы с отверстиями

После прохождения ускоряющего промежутка, на который подано постоянное напряжение V, электроны в трубке движутся равномерно, с практически одинаковыми по модулю импульсами p, определяемыми из соотношения

p^2

2m

=

eV

.

(1)

Для кинетической энергии электронов здесь использовано нерелятивистское выражение, поскольку на практике при ускоряющих напряжениях порядка 10 кВ электроны разгоняются до скорости, не превышающей 0,2 скорости света. Релятивистские поправки составляют при этом всего 2%.

Рис. 7.2. Угловой размер пучка зависит от диаметра d отверстия во второй диафрагме

Будем сначала считать электрон классической частицей, движение которой описывается законами Ньютона. Пусть отверстие в первой диафрагме настолько мало, что его можно считать точечным. В этом случае диаметр пятна на экране трубки будет тем меньше, чем меньше отверстие во второй диафрагме. В самом деле, электроны в пучке движутся прямолинейно, и из рис. 7.2 видно, что угловой размер пятна определяется соотношением

=

d

l

,

(2)

где d - диаметр отверстия во второй диафрагме. Поэтому ясно, что если бы электроны действительно вели себя как классические частицы, то размер пятна на экране трубки можно было бы сделать сколь угодно малым. Но в действительности это не так. Если неограниченно уменьшать диаметр отверстия во второй диафрагме, то классические представления о движении электрона по определённой траектории рано или поздно окажутся неприменимыми. Как определить, с какого момента в рассматриваемой системе начнут проявляться квантовые закономерности и к каким последствиям для размера пятна на экране это приведёт?

Ответ на этот вопрос можно получить с помощью соотношений неопределённостей Гейзенберга, которые устанавливают пределы применимости классического способа описания. Если электрон прошёл через отверстие во второй диафрагме, то неопределённость в значении его координаты в направлении поперёк пучка x определяется размером отверстия d:

x

d

.

(3)

В силу соотношения неопределённостей при прохождении через это отверстие электрон приобретает неконтролируемый импульс p_x, перпендикулярный оси пучка:

p

_x

h

x

h

d

.

(4)

В результате после прохождения диафрагмы появляется неопределённость в направлении движения электрона, обусловленная действием квантовых закономерностей. Для характеристики этой неопределённости удобно ввести угол _кв согласно соотношению

_кв

=

p_x

p

h

pd

.

(5)

Таким образом, как видно из формулы (5), благодаря квантовым эффектам при уменьшении диаметра отверстия d происходит расширение пучка и, как следствие, увеличение размера пятна на экране трубки. Очевидно, что уменьшать отверстие в диафрагме следует только до тех пор, пока размытие пучка _кв не сравняется с его угловым размером , определяемым классическими траекториями электронов: _кв=. Используя соотношения (5) и (2), из этого условия определяем оптимальный размер отверстия во второй диафрагме:

d

hl/p

.

(6)

Если сделать диаметр отверстия меньше этой величины, то диаметр пятна увеличится вследствие квантовых эффектов.

К результату, выражаемому формулой (6), можно прийти и другим путём, не используя соотношения неопределённостей Гейзенберга. Действие квантовых закономерностей проявляется в том, что электрон обладает волновыми свойствами, которые приводят к дифракционным явлениям. Длина волны , соответствующей электрону, зависит от его импульса и определяется соотношением де-Бройля: