Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Сдвиг частоты, обусловленный явлением отдачи, легко найти с помощью законов сохранения энергии и импульса. Запишем уравнения (1) и (2) для случая p=0:
h'
–
h
=-
p^2
2m
,
0
=
p
–
h'
c
.
Подставляя импульс отдачи p из второго равенства в первое, находим
'
=-
h'
2mc^2
.
(7)
Таким образом, относительный сдвиг частоты из-за явления отдачи определяется отношением энергии фотона к энергии покоя излучающего атома. Для гамма-квантов, излучаемых атомными ядрами, такой сдвиг оказывается существенным. В
=-
h
2mc^2
.
Например, для линий серии Бальмера в спектре атома водорода /~10– 9.
Разумеется, явление отдачи можно учесть и при излучении света движущимся атомом. Для этого при переходе от формулы (2) к (3) нужно сохранить слагаемое, содержащее квадрат импульса фотона. Окончательное выражение для относительного сдвига частоты, кроме (v/c)cos , будет содержать член h'/(2mc^2), который становится главным при v=0.
До сих пор мы рассматривали нерелятивистский случай, когда излучающий атом двигался со скоростью v, много меньшей скорости света c. Интересно выяснить, каким будет обусловленный эффектом Доплера сдвиг частоты, если излучатель движется с большой скоростью, сравнимой со скоростью света c. Это можно сделать, если использовать для энергии и импульса излучающего атома точные релятивистские выражения. Однако проще рассмотреть другой пример - аннигиляцию электрон-позитронной пары, сопровождающуюся излучением двух гамма-квантов. Анализ этого примера даст возможность ответить и на интересующий нас вопрос.
Пусть перед аннигиляцией относительная скорость электрона и позитрона мала, т.е. можно считать, что они оба покоятся. Так как импульс всей системы до аннигиляции равен нулю, то он останется равным нулю и после излучения. Это значит, что образовавшиеся при аннигиляции фотоны летят в противоположные стороны и имеют равные по модулю импульсы h/c и, следовательно, одинаковую частоту . Эта частота сразу находится с помощью закона сохранения энергии: приравнивая энергию фотона энергии покоя электрона и позитрона,
2h
=
2mc^2
.
получаем
=
mc^2
h
.
(8)
Соответствующая этому излучению длина волны =c/, вследствие (8), равна h/mc и называется комптоновской длиной волны электрона.
Теперь рассмотрим этот же процесс аннигиляции электрона и позитрона с точки зрения другой системы отсчёта, относительно которой электрон-позитронная пара перед аннигиляцией движется со скоростью v. Направление скорости v выберем так, чтобы оно совпадало с направлением распространения одного из испущенных фотонов. Обозначим через частоту фотона, излучаемого «вперёд», а через - излучаемого «назад». Тогда в этой системе отсчёта закон сохранения импульса в проекции на направление движения аннигилирующей пары принимает вид
h
c
–
h
c
=
2mv
1-v^2/c^2
.
(9)
При аннигиляции полная релятивистская энергия пары превращается в энергию излучения. Поэтому закон сохранения энергии записывается в виде
h
+
h
=
2mc^2
1-v^2/c^2
(10)
Из системы уравнений (9) и (10) легко найти частоты и . Умножив обе части (9) на с и сложив с уравнением (10), находим :
=
mc^2
h
c+v
c-v
1/2
=
c+v
c-v
1/2
.
(11)
Здесь использовано выражение (8) для частоты фотона, излучаемого при аннигиляции неподвижной пары. Аналогично, вычитая из уравнения (9) уравнение (10), находим :
=
c-v
c+v
1/2
.
(12)
Полученные
формулы (11) и (12) и дают выражение для продольного эффекта Доплера в релятивистском случае. Частота . фотона, излучаемого по направлению движения, оказывается выше, а частота фотона, излучаемого против движения, - ниже, чем частота фотона, испускаемого неподвижным излучателем.Легко видеть, что при v/c<<1 формулы (11) и (12) дают обычное выражение для нерелятивистского эффекта Доплера. Для этого домножим числитель и знаменатель подкоренного выражения в формуле (11) на c+v. Пренебрегая затем в знаменателе величиной v^2 по сравнению с c^2, получаем
=
(c+v)^2
c^2-v^2
1/2
1
+
v
c
,
(13)
что совпадает с формулой (6) при =0. Аналогично, формула (12) при v/c<<1 даёт выражение, совпадающее с формулой (6), если в последней положить =.
Во всех рассуждениях мы под частотой молчаливо подразумевали частоту излучения, регистрируемого неподвижным в данной системе отсчёта приёмником. Изменение частоты происходило только за счёт движения источника. На самом деле в случае электромагнитного излучения, распространяющегося в вакууме, все полученные формулы остаются справедливыми и при движении приёмника излучения, только в этом случае под v следует понимать относительную скорость - скорость источника относительно приёмника.
5. Фотонный парус.
На неподвижное идеальное плоское зеркало массы m нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы светового давления зеркало приходит в движение. Определить конечную скорость зеркала и энергию отражённой от него волны, если энергия падающей волны равна W.
На протяжении всей книги мы много раз убеждались, что очень многие задачи можно решить, не вникая в детали происходящих физических явлений. Для ответа на многие вопросы достаточно только представить общую картину рассматриваемых явлений и правильно применить подходящие фундаментальные законы сохранения. Так и в этой задаче. Точное динамическое решение здесь сопряжено с большими трудностями. В самом деле, энергия отражённой от зеркала волны зависит от того, как движется зеркало, а закон движения зеркала определяется его взаимодействием со световой волной. Однако совершенно ясно, что, независимо от механизма взаимодействия электромагнитной волны с зеркалом, должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, поскольку рассматриваемая система - зеркало и световая волна - является замкнутой. Использование этих законов даёт возможность без труда решить эту задачу даже с учётом релятивистских эффектов, когда становится существенной зависимость массы движущегося тела от его скорости.
Приступим к решению задачи. Энергия падающей на зеркало световой волны равна W, а энергию отражённой волны обозначим через W. Вначале зеркало покоится. Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде
W
+
mc^2
=
W
+
mc^2
1-v^2/c^2
.
(1)
Так как энергия электромагнитного поля W связана с его импульсом p соотношением
p
=
W
c
,
(2)
то закон сохранения импульса принимает вид
W
c
=-
W
c
+
mv
1-v^2/c^2
.
(3)
Знак минус в первом члене правой части формулы (3) соответствует тому, что отражённая от зеркала волна движется в обратном направлении. Для исключения энергии отражённой волны W умножим обе части равенства (3) на c и сложим почленно с (1). Тогда получим
2W