Физика в примерах и задачах

x

·

p

_x

h

.

(7)

Невозможность приписать микрочастице одновременно точные значения координаты и соответствующей проекции импульса связана с проявлением двойственной корпускулярно-волновой природы микрообъектов. Волновые свойства микрообъектов характеризуются так называемой длиной волны де-Бройля , которая обратно пропорциональна импульсу частицы:

=

h

p

.

(8)

Корпускулярно-волновой дуализм заключается в том, что любая частица - фотон, электрон, протон, атом и т.д. - обладает потенциальной возможностью проявлять и корпускулярные, и волновые свойства, но ни в одном явлении они никогда не проявляются одновременно.

1. Принцип относительности.

Шарик массы m на нити длиной l висит неподвижно в однородном поле тяжести напряжённости g. В некоторый момент времени точка подвеса начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v (рис. 1.1). Как при этом будет двигаться шарик?

Рис. 1.1. В некоторый момент точка подвеса приводится в движение с постоянной скоростью v

Условие этой задачи очень простое, однако на первый взгляд совершенно не ясно, как к ней подступиться. С одной стороны, очевидно, что движение такой механической системы подчиняется законам классической механики Ньютона. С другой стороны, непонятно, как эти законы можно здесь применить.

Подсказкой к нахождению пути решения этой задачи может послужить то обстоятельство, что она помещена в разделе «Релятивистская и квантовая физика». То, что квантовая физика здесь ни при чем, сомнений не вызывает, поэтому остаётся выяснить, какое отношение может иметь эта задача, в которой рассматривается движение с заведомо нерелятивистскими скоростями, к теории относительности. Оказывается, что и к теории относительности эта задача тоже отношения не имеет. Но вот принцип относительности, лежащий в основе этой теории, причём в своей классической форме, сформулированный ещё Галилеем, имеет к этой задаче самое непосредственное отношение. Его использование позволяет сразу свести эту задачу к другой, хорошо известной.

Согласно принципу относительности Галилея законы, описывающие механические явления, во всех инерциальных системах отсчёта одинаковы. При решении данной задачи удобно перейти в систему отсчёта, в которой точка подвеса неподвижна. Так как в исходной (лабораторной) системе отсчёта точка подвеса движется с постоянной скоростью v, то новая система отсчёта также является инерциальной. Однако в этой системе движение шарика на нити выглядит уже довольно просто: точка подвеса нити всё время неподвижна, а самому шарику в начальный момент времени сообщается скорость -v, направленная по горизонтали направо (рис. 1.2). Разумеется, и в новой системе отсчёта на шарик тоже действует поле тяготения напряжённости g.

Рис. 1.2. В системе отсчёта, где точка подвеса неподвижна, шарик в начальный момент имеет скорость -v

В системе отсчёта, связанной с точкой подвеса, дальнейшее движение шарика будет происходить по-разному в зависимости от его начальной скорости. При небольшой начальной скорости система будет вести себя как математический маятник, совершающий малые почти гармонические колебания вблизи вертикального положения равновесия:

(t)

=

sin t

.

(1)

Частота равна частоте собственных колебаний математического маятника длины l: ^2=g/l. Выбор начальной фазы колебаний в уравнении (1) соответствует тому, что при t=0 маятник расположен вертикально и =0. Амплитуда колебаний также находится из начальных условий. Так как согласно формуле (1) угловая скорость маятника равна

(t)

=

cos t

,

(2)

то линейная скорость шарика при t=0 равна l. Приравнивая её начальной скорости v, находим угловую амплитуду :

=

v

l

.

(3)

Такое гармоническое колебательное движение маятника происходит только при небольшой амплитуде <<1, т.е., как видно из формулы (3), при

v

<<

l

=

gl

.

Если начальная скорость v не очень мала, т.е. не удовлетворяет приведённому неравенству, то колебания маятника будут происходить с большой амплитудой и уже не будут гармоническими. Но амплитуда колебаний, разумеется, не может превышать значения =/2. При такой амплитуде шарик в крайних положениях поднимается до уровня точки подвеса. Этому соответствует, как легко убедиться с помощью закона сохранения энергии, значение начальной скорости v=2gl. Если же начальная скорость больше этого значения, то шарик поднимется выше точки подвеса, однако он будет двигаться по окружности только до тех пор, пока сила натяжения нити не обратится в нуль. Начиная с этой точки, гибкая нить не влияет на движение шарика, и он движется свободно в поле тяжести по параболе, пока нить снова не вытянется на всю длину.

Рис.1.3. К нахождению точки, в которой натяжение нити T обращается в нуль

Угловое положение точки в которой сила натяжения нити обращается в нуль, легко найти с помощью закона сохранения энергии и проекции уравнения второго закона Ньютона на направление нити, полагая в нем силу натяжения нити T равной нулю. Из рис. 1.3 видно, что эти уравнения записываются следующим образом:

mv^2

2

=

mgl

(1-cos )

+

mv^2

2

,

(4)

mg

cos(-)

=

mv^2

l

.

(5)

Подставляя v^2 из уравнения (5) в (4), находим

cos

=

1

3

2

–

v^2

gl

.

(6)

Поскольку шарик поднимается выше точки подвеса только при v^2>2gl, то даваемое формулой (6) значение cos отрицательно. Из формулы (6) видно, что чем больше начальная скорость шарика v, тем ближе угол к . Наконец, если v^2=5gl, то cos =-1 и сила натяжения нити обращается в нуль, когда шарик при движении по окружности оказывается точно над точкой подвеса. Ясно, что при таком и тем более при больших значениях начальной скорости шарик будет совершать полные обороты по окружности, всё время натягивая нить.

Движение шарика в исходной лабораторной системе отсчёта, где его точка подвеса приведена в равномерное движение со скоростью v, получается в результате сложения описанного выше движения во вспомогательной системе отсчёта и равномерного движения со скоростью v.

Разобранный пример наглядно показывает следующее: несмотря на то, что законы движения во всех инерциальных системах отсчёта одинаковы, при решении конкретной задачи одна из этих систем может оказаться гораздо удобнее, чем остальные. Удачное применение принципа относительности может превратить сложную на первый взгляд задачу в почти очевидную.

2. Возбуждение атома при столкновении.

Наименьшая энергия возбуждения атома гелия равна 21,12 эВ. Возможно ли возбуждение неподвижного атома гелия при столкновении с протоном, обладающим энергией 24 эВ? с электроном такой же энергии?

Если энергия налетающей частицы недостаточна для возбуждения атома, то её столкновение с атомом является абсолютно упругим, так как внутреннее состояние атома измениться не может. При возбуждении или ионизации атома в результате удара налетающей частицы столкновение уже не является упругим, так как часть кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию возбуждённого атома или затрачивается на совершение работы ионизации, т.е. на удаление электрона из атома. Вследствие закона сохранения импульса вся кинетическая энергия налетающей частицы не может пойти на возбуждение или ионизацию атома, хотя такой процесс и не противоречил бы закону сохранения энергии.