Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(x
2
)
*
i
(x
1
)
exp
–
u2– u1
h
E
i
.
(10.32)
Тогда, если положить x2=x', x1=x, u2=h и u1=0, выражение (10.32) становится тождественным выражению (10.28).
Дифференцируя по u2, получаем
– h
k
u2
=
i
E
i
i
(x
2
)
*
i
(x
1
)
exp
–
u2– u1
h
E
.
(10.33)
Вспомним
– h
k(2,1)
u2
=
H
2
k(2,1)
(10.34)
или, в несколько иной форме,
–
(2,1)
=
H
2
(2,1)
.
(10.35)
Заметим, что это дифференциальное уравнение для аналогично уравнению Шрёдингера для ядра K, полученному в гл. 4 [соотношение (4.25)]. Можно переписать его в виде
–
h
i
K(2,1)
t2
=
H
2
K(2,1)
для
t
2
>t
1
.
(10.36)
В гл. 4 мы установили, что ядро K(2,1) представляет собой функцию Грина для уравнения (10.36); в том же самом смысле матрица плотности (2,1) является функцией Грина для уравнения (10.35).
В случае простых гамильтонианов, зависящих только от импульсов и координат, мы смогли записать ядро в виде интеграла по траекториям. Например, гамильтониану
H
=-
h^2
2m
d^2
dx^2
+
V(x)
(10.37)
соответствует решение для ядра, отвечающего очень короткому промежутку времени t2– t1=:
K(2,1)
=
m
2ih
1/2
exp
im
2h
(x2– x1)^2
–
i
h
V
x2– x1
2
,
(10.38)
что можно проверить прямой подстановкой в уравнение (10.36). Если мы возьмём произведение большого числа записанных в таком виде ядер и перейдём к пределу, одновременно устремляя к нулю и неограниченно увеличивая число сомножителей, то в итоге получим интеграл по траекториям, определяющий ядро для некоторого конечного промежутка времени. Решение уравнения (10.34) можно построить тем же самым способом. Для бесконечно малого интервала u2– u1= оно получается заменой =-i в выражении (10.38). Таким образом,
K
(x
2
,;x
1
,0)
=
m
2h
1/2
x
x
exp
–
(m/2)(x2– x1)^2+V[(x2– x1)/2]
h
.
В
том, что это выражение действительно является решением уравнения (10.34), можно убедиться непосредственной подстановкой.Функции, определённые для последовательных значений u, строятся по тому же правилу, что и ядра для последовательных интервалов времени, т.е.
k(2,1)
=
k(3,2)
k(3,1)
dx
3
.
(10.40)
Справедливость последнего следует из того факта, что выражение (10.33) представляет собой первую производную по u. Этим правилом можно воспользоваться, чтобы получить интеграл по траекториям, определяющий k(2,1):
k(x
2
,u
2
;x
1
,u
1
)
=
exp
–
N-1
i=0
m
2h
(x
i+1
– x
i
)
2
N-1
+
+
h
V(x
i
)
N-1
i=0
dxi
a
.
(10.41)
Нормировочную константу следует теперь выбрать в виде
a
=
2h
m
1/2
,
(10.42)
и интеграл вычисляется по всем траекториям, проходящим из точки x1 в точку x2 (т.е. xi равно x1 при i=0 и x2 при i=N) на отрезке u2– u1=N.
Результат всех этих рассуждений заключается в следующем: если «траекторию» x(u) рассматривать как некую функцию, связывающую значения координаты и параметра u, и если обозначить через x производную dx/du, то матрица плотности выразится в виде
(x
2
,x
1
)
=
exp
–
1
h
h
0
m
2
x^2(u)
+
V(x)
d(u)
Dx(u)
.
(10.43)
Этот результат очень примечателен, поскольку поведение квантовомеханической системы полностью определяется здесь интегралом по траекториям, причём не появляется вездесущая мнимая единица i, столь характерная для квантовой механики (между прочим, этого не будет и в случае системы, движущейся в магнитном поле). Интеграл (10.43) намного удобнее в обращении, и его значительно легче интерпретировать наглядно, чем рассмотренные выше комплексные интегралы. Здесь легко видеть, например, почему некоторые трактории дают очень малый вклад в интеграл: для них отрицательный показатель экспоненты велик по модулю и потому подынтегральная функция ничтожно мала. Кроме того, отпадает необходимость в размышлениях о взаимной компенсации соседних траекторий; в данном случае все они суммируются совершенно равноправно, независимо от величины их вкладов.