Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Поэтому для амплитуды вероятности мы можем записать
Амплитуда
=
2h
Lc
1/2
exp
i
h
(S
част
+I)
j
1L
exp(iLct)
dt
Dq
.
(9.95)
Аналогичное выражение, которое мы ранее получили с помощью теории возмущений, эквивалентно матричному элементу перехода
2h
Lc
1/2
exp
i
h
S
част
j
1L
exp(iLct)
dt
Dq
.
(9.96)
Очевидно,
Выше было показано, что введение действия I приводит к небольшому изменению энергетических уровней; формально значения энергий становятся в этом случае комплексными. Последнее означает, что излучению соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины, называемой естественной шириной линии. Не будем углубляться далее в детали всех этих вычислений и оставим их обсуждение, как и обобщение на большее число поглощаемых и излучаемых фотонов, тем, кто захочет более детально изучить эти специальные вопросы квантовой электродинамики.
§ 8. Краткие выводы
Обозрение подхода в целом. В этой главе мы довольно много занимались исследованием квантованного электромагнитного поля. Стоит потратить некоторое время и вернуться назад, чтобы подчеркнуть основные идеи и полученные результаты.
Выделение кулоновского взаимодействия и применение бегущих волн для наших целей являются лишь техническими приёмами; наиболее значительный результат содержится в выражении (9.89) или в эквивалентном ему (9.91). Рассмотрим этот результат с более общей точки зрения, приняв за основу выражение (9.91). Допустим, что наша система может быть описана с помощью действия
S
=
S
1
(q)
+
S
2
(q,A,)
+
S
3
(A,)
,
(9.97)
где член S1(q) относится к веществу, член S2 — к взаимодействию вещества и поля, а член S3 — лишь к полю. Символом q обозначены здесь координаты материальных тел, а поле описывается координатами A и . Тогда амплитуда вероятности какого-либо события получается в результате вычисления интеграла типа
K
=
exp
i
h
[
S
1
(q)
+
S
2
(q,A,)
+
S
3
(A,)
]
Dq
DA
D
,
(9.98)
причём вопрос о граничных условиях задачи остаётся открытым.
Будем далее предполагать, что в начальном и конечном состояниях поля фотоны отсутствуют (т.е. поле переходит из вакуумного состояния снова в вакуумное). Такой выбор граничных условий мы сокращённо обозначим как вак-вак. Затем мы всегда будем интегрировать сначала по переменной q, а лишь после этого по A и . То, что мы делали до сих пор,
соответствовало обратному порядку интегрирования: сначала по A и , а в качестве заключительного шага по q.Обычно действие S2(q,A,) линейно зависит от переменных поля A и и может быть записано в виде
S
2
=
[
(R,t)
(R,t)
–
j(R,t)
·
A(R,t)
]
d^3R
dt
,
(9.99)
где и j — соответственно плотности заряда и тока, зависящие только от q. Тогда интеграл по A и в формуле (9.98) гауссов и легко вычисляется.
Основной смысл соотношения (9.91) заключается в том, что оно даёт нам значение этого интеграла, а именно
вак
вак
exp
i
h
S
3
(A,)
+
(-j·A)
d^3R
dt
x
x
DA
D
=
exp
i
h
J
,
(9.100)
где действие J, которое в формуле (9.91) мы обозначали как I+Sc, равно
J
=
i
[c^2
(R
1
,t
1
)
(R
2
,t
2
)
–
j(R
1
,t
1
)
·
j(R
2
,t
2
)
]
+
[
(t
1
– t
2
)^2
c^2
–
–
|R
1
– R
2
|^2
]
d^3R
1
d^3R
2
dt
1
dt
2
(9.101)
для любых функций и j, зависящих от R и t. В импульсном пространстве соотношение (9.101) запишется в виде (9.89).
Функции и j, которые входят в соотношение (9.98), зависят от q и q; поэтому мы получаем результат в виде
K
(вак-вак)
=
exp
i
h
[S
1
(q)+J(q)]
Dq
,
(9.102)
где функционал J(q) определяется выражением (9.101), куда предварительно должны быть подставлены требуемые значения и j. Таким образом, соотношение (9.102) содержит все основные результаты, относящиеся к переходам между двумя вакуумными состояниями. Изменение действия, относящегося к частицам, под влиянием поля мы учли добавлением функционала J(q). Таким образом, главным результатом, получаемым из соотношений (9.100) и (9.101), является эта наиболее важная формула электродинамики.