Квантовая механика и интегралы по траекториям

Однако ясно, что мы не сможем изучить это явление достаточно детально, поскольку в таком рассмотрении остаётся загадочной сверхпроводимость, возникающая в металлах при нескольких градусах Кельвина. При сверхпроводимости, по крайней мере у некоторых металлов, играет роль какое-то взаимодействие, связанное с медленными колебаниями атомов; это доказывается тем обстоятельством, что температура перехода для двух различных изотопов одного металла зависит от массы атома. Массовое число изотопа не могло бы влиять на процесс, если бы переход обусловливался взаимодействием самих электронов или их взаимодействием с жёстко фиксированными атомами. Поэтому приближение, в котором атомы фиксированы, следует считать неправильным. Но каким образом колебания атомов приводят к внезапному скачку теплоёмкости, а ниже критической температуры делают возможной электрическую проводимость без сопротивления? Этот вопрос впервые был убедительно разъяснён Бардином, Купером и Шриффером ¹⁹). Метод интегрирования по траекториям не сыграл в их анализе никакой роли; он фактически никогда не был полезен при рассмотрении вырожденных ферми-систем.

¹⁹) J. Вагdееn, L. N. Соореr, J. R. Sсhгiеffеr, Phys. Rev., 106, 162; 108, 1175 (1957). (Математически корректная теория этого явления была одновременно разработана Н. Н. Боголюбовым как обобщение его работ по теории сверхтекучести; см. литературу в примечании на стр. 314.— Прим, ред.)

Закон Планка для излучения абсолютно чёрного тела. Легко получить функцию распределения для любой системы взаимодействующих осцилляторов. Такая система эквивалентна набору независимых осцилляторов с частотами _i. Величина свободной энергии F для совокупности независимых осцилляторов равна сумме свободных энергий каждого из этих осцилляторов. Последние, как это видно непосредственно из (10.69), равны

kT ln

2 sh

h

2kT

Поэтому свободная энергия всей системы запишется в виде

F

=

kT

ⁱ

ln

2 sh

h_i

2kT

=

kT

ⁱ

ln

(1-e

^h_i/kT

)

+

ⁱ

h_i

2

.

(10.85)

Последний член в этом выражении представляет собой энергию основного состояния системы.

В случае электромагнитного поля, заключённого в объёме V, число мод равно удвоенному количеству значений волнового вектора K; нулевая энергия при этом не учитывается. Следовательно, свободная энергия электромагнитного поля, отнесённая к единице объёма, равна

F

=

kT

d^3K

(2)^3

2 ln

(1-e

^{– hK_c/kT}

)

.

(10.86)

Внутренняя энергия U представляет собой частную производную от F по , и после подстановки =K_c принимает вид

U

=

2

d^3K

(2)^3

h

1

e^h/kT– 1

.

(10.87)

Элемент объёма в импульсном пространстве можно записать так:

d^3K

=

4K

dK

=

4

^2

c^3

d

.

(10.88)

Поэтому энергия электромагнитного поля, заключённая в области частот от до +d, равна

2·4

(2c)^3

h

e^h/kT– 1

.

(10.89)

Это и есть хорошо известный закон излучения абсолютно чёрного тела, открытый Планком. Он явился первым количественным результатом квантовой механики, который описывал наблюдаемое явление, и был первым шагом к открытию новых законов природы.

Другим триумфом на заре квантовой механики было объяснение Эйнштейном и Дебаем температурной зависимости теплоёмкости твёрдых тел. Эта зависимость тоже вытекает из соотношения (10.85), с той лишь разницей, что осцилляторами теперь должны быть нормальные моды кристалла, описанные в гл. 8. Подобно выражению (10.87), тепловая энергия в единице объёма такого кристалла (без учёта нулевой энергии) будет равна

U

=

^{3p мод}

h(k)

exp[h(k)/kT]

d^3k

(2)^3

,

(10.90)

где (k) — частота фонона с волновым вектором k. Во всяком кристалле U будет многозначной функцией (если в единичном объёме находится p атомов, то существует 3p значений для каждого k), и мы должны просуммировать по всем возможным . Интегрирование по k распространяется только на конечную область, соответствующую данному кристаллу. Для фотонов каждому k соответствуют две моды с одинаковыми частотами =kc, так что в сумме появляется множитель 2, и мы приходим к равенству (10.87), причём область интегрирования по k становится теперь бесконечной.

Следствия из выражения (10.90), изученные в различных приближениях Эйнштейном и Дебаем, хорошо объяснили основные особенности температурной зависимости теплоёмкости и, в частности, её поведение при низких температурах, которое находилось в прямом противоречии с предсказаниями классической физики. Сегодня, подставив в выражение (10.90) более точный фононный спектр (k), мы имеем вполне удовлетворительное описание той части теплоёмкости твёрдых тел, которая обязана колебаниям атомов.

§ 5. О формулировке основных законов теории

Все предыдущее изложение статистической механики оставляет желать много лучшего. Основной принцип, утверждающий, что вероятность найти систему в состоянии с энергией E пропорциональна e^{– E/kT}, обычно выводят из рассмотрения взаимодействия сложных систем в течение длительных промежутков времени. Однако при этом возникает связанный с нашим подходом один интересный вопрос.

Обсуждение физики в этой книге мы начали с формулировки законов квантовой механики, применяя для этого метод интегрирования по траекториям (см. гл. 2). Проследим теперь, к чему приведёт точка зрения, согласно которой такая формулировка как раз и является фундаментальной. В этом случае оказывается, что статистические свойства системы, квантовое поведение которой описано интегралом по траекториям, выражаются функцией распределения Z. В свою очередь эта функция также может быть выражена в виде некоторого интеграла по траекториям, очень схожего и тесно связанного с квантовомеханическим интегралом; подобная вещь проделана в соотношении (10.77). Однако для этого не требуется ни понятия волновой функции, ни существования стационарных состояний, ни вышеупомянутой гипотезы о длительном взаимодействии,— ничего из того, что было необходимо для вывода функции распределения в виде (10.1), зависящем от энергии уровней E_i. В заключение вернёмся к формулировке Z с использованием исходного интеграла по траекториям. Существует ли какая-нибудь возможность получить для любой равновесной системы выражение Z прямо через интеграл по траекториям, описывая таким путём изменение её состояний во времени? Если да, то мы ещё це знаем, как это сделать.

Можно было бы спросить: а зачем это нужно? Это все равно что показывать своё умение плавать с заложенными за спину руками. В конце концов вы знаете, что энергетические уровни существуют. Единственным оправданием для такой попытки избавиться от их упоминания послужила бы возможность более глубокого понимания физических процессов или возможность привлечения более мощных статистических методов. Во всяком случае, разобраться в этом было бы интересно.

Отсюда и возникла идея — получить хорошо известный вариационный принцип, позволяющий вычислить наименьшую энергию системы непосредственно из исходной формулировки интеграла по траекториям, а не косвенно (из уравнения Шрёдингера). Результат излагается в гл. 11. Таким образом, плоды этих чисто академических размышлений оказались до некоторой степени и полезными, и интересными.