Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
0
V'[x(t)]
dt
,
(11.37)
которое содержит некоторый новый потенциал V'(x). Это означает, что
S-S'
=
0
{
V'[x(t)]
–
V[x(t)]
}
dt
,
(11.38)
или
=-
e
S'
1
0
{
V[x(t)]
–
V'[x(t)]
}
dt
Dx(t)
e
S'
Dx(t)
– 1
.
(11.39)
Если
=-
e
S'
{
V[x(t)]
–
V'[x(t)]
}
Dx(t)
e
S'
Dx(t)
– 1
=
=
V[x(t)]
–
V'[x(t)]
.
(11.40)
Следуя методам, изложенным в гл. 2, можно вычислить этот интеграл по траекториям в предположении, что известны функции 'n и значения энергий E'n, соответствующие S'. Пусть, например, наша траектория проходит между точками x1 и x2 в этом случае
f'[x(t)]
=
n
{exp[-(-t)E
'
m
]}
x
x
[exp(-tE
'
n
)]
'
n
(x
2
)
'
m
(x
1
)
f
nm
x
x
n
[exp(-E
'
n
)]
'*
n
(x
2
)
'
n
(x
1
)
– 1
(11.41)
где
f
nm
=
'*
n
(x)
f(x)
'
m
(x)
dx
.
(11.42)
Если же стремится к бесконечности и t тоже велико (например, t=/2), то все экспоненты будут пренебрежимо малы по сравнению с экспонентой, содержащей наименьшее значение энергии E'0. Таким образом, в пределе
lim
f
=
f
00
– >
(11.43)
Этот результат можно записать в виде
=-
'*
0
V(x)
'
0
dx
+
'*
0
V'(x)
'
0
dx
(11.44)
Мы, конечно, должны вычесть эту величину из E'0. Однако если H — гамильтониан, соответствующий действию S', т.е. если
H'
=
p^2
2m
+
V'(x)
,
(11.45)
то
H'
'
0
=
E
'
0
'
0
,
(11.46)
так
чтоE
'
0
–
=
'*
0
H'
'
0
dx
+
'*
0
V
'
0
dx
–
'*
0
V'
'
0
dx
(11.47)
Но точный гамильтониан можно записать в виде
H
=
p^2
2m
+
V
=
p^2
2m
+
V'
+
V
–
V'
=
H'
+
V
–
V
,
(11.48)
а это означает, что
E
0
<=
'*
0
H'
'
0
dx
,
(11.49)
где '0 — нормированная волновая функция, соответствующая низшему энергетическому состоянию системы с гамильтонианом (11.45). Отметим, что оценка наименьшей энергии (11.49) зависит от произвольного потенциала V'(x) только лишь через волновую функцию '0. В силу неопределённости потенциала произвольной является и функция '0. Поэтому вместо того, чтобы подбирать потенциал V', находить по нему соответствующую волновую функцию и потом переходить к вычислению соотношения (11.49), мы могли бы подобрать волновую функцию и потом вычислить правую часть (11.49), совершенно не заботясь о потенциале, которому отвечает эта волновая функция. При таком подходе переменной является скорее волновая функция '0, а не потенциал V'(x). Отсюда видно, что полученный результат — просто другой способ толкования соотношения (11.33).
Если бы все задачи были такими, как в данном примере, когда оказывается применимым выражение (11.13), то не возникало бы оснований для столь длинных рассуждений. Однако существуют значительно более сложные интегралы, для которых выражение (11.13), по крайней мере в той степени, насколько мы можем сейчас об этом судить, не столь просто преобразуется к соотношению (11.33). Такой пример мы рассмотрим в следующем параграфе.
§ 4. Медленные электроны в ионном кристалле 21)
21 См. работу [8].
Пусть электрон движется в ионном кристалле, например в кристалле хлористого натрия. При этом он взаимодействует с ионами, которые не являются жёстко закреплёнными, и создаёт вокруг себя искажение кристаллической решётки. Если электрон движется, то область возмущения перемещается вместе с ним. Такой электрон вместе с возмущаемой им окрестностью был назван поляроном.
Вследствие возмущения решётки энергия электрона уменьшается. Кроме того, поскольку электрон перемещается и ионы должны двигаться согласованно с возмущением, то эффективная масса электрона (или, применяя общепринятый термин — масса полярона) превосходит значение массы, которое получилось бы, если решётка состояла бы из жёстко закреплённых точек. Точный квантовомеханический анализ движения такого полярона чрезвычайно сложен, и мы сделаем некоторые допущения, удовлетворить которым в реальном случае, вероятно, весьма трудно. Тем не менее мы вслед за рядом физиков будем рассматривать такую идеализированную задачу [9] не только потому, что она, возможно, отражает реальное поведение электрона в кристалле, но также и потому, что она является одним из простейших примеров взаимодействия частицы и поля. Вариационный метод вычисления интегралов по траекториям оказывается в этом случае весьма плодотворным.