Квантовая механика и интегралы по траекториям

.

(11.15)

Тогда при больших значениях функция распределения равна

e

^{– E₀}

_x0

^x₀

exp

–

⁰

m

2

[x(t)]^2

+

V[x(t)]

dt

Dx(t)

dx

₀

.

(11.16)

Этот интеграл взят по тем тракториям, которые возвращаются к исходным начальным точкам; после его вычисления проводится дальнейшее интегрирование по всем возможным начальным точкам.

В § 2 гл. 10 мы уже рассмотрели аналогичную задачу и выяснили, каким образом здесь можно получить классическое приближение. В классическом пределе при высоких температурах (когда kT велико по сравнению с h) величина h столь мала, что траектории, проходящие далеко от точки x₀, не дают заметного вклада. Поэтому потенциал можно заменить постоянной величиной V(x₀), и вклад интеграла по траектории будет постоянной величиной, равной

(e

^{– E₀}

)

_{классич}

=

m

2

1/2

e

^{– V(x)}

dx

,

(11.17)

как показано в выражении (10.48).

В гл. 10 рассматривалось квантовомеханическое уточнение классического результата путём разложения потенциала в ряд около среднего положения траектории с точностью до членов второго порядка. Дальнейшее уточнение было достигнуто с помощью потенциала U, полученного специальным методом усреднения. Теперь мы видим, что такое приближение явилось частным случаем применения вариационного метода. Чтобы пояснить эту мысль, пересмотрим основные пункты рассуждений, используя обозначения и понятия этой главы.

Нашей задачей является вывести подходящую пробную функцию W(x), где x среднее положение траектории, определяемое выражением

x

=

1

⁰

x(t)

dt

.

(11.18)

Вдоль любой конкретной траектории эта подстановка фиксирует значение потенциала, так что действие принимает новый вид

S'

=

–

⁰

m

2

x^2

dt

–

W(

x

)

.

(11.19)

С помощью этого более общего выражения можно вычислить как F', так и S-S'.

Следуя тем же путём, используем выражение (11.14). После всех необходимых подстановок получим

=

1

exp

–

⁰

m

2 x^2 dt

{exp[ - W(x) ]} Dx(t) dx₀

x

x

–

1

⁰

V[x(t')]

dt'

–

W(

x

)

x

x

exp

–

⁰

m

2

x^2

dt

{exp[

–

W(

x

)

]}

Dx(t)

dx

₀

.

(11.20)

Имеет смысл напомнить, что траектории, используемые в выражении (11.20), таковы, что их начальные и конечные точки совпадают и, подобно тому, как это сделано в формуле (11.16), в заключение проводится интегрирование по всем конечным точкам x₀.

Отметим, что числитель выражения для очень похож на выражение для I(x), введённое в (10.63), если ограничиться траекториями со средним значением x и отложить интегрирование по всем возможным значениям x на последний этап вычислений. Так же как и при нахождении величины I(x), мы видим, что числитель в не зависит от t'. Интегралы по траекториям в числителе и знаменателе можно вычислить с помощью методов, применявшихся в гл. 10, и воспользоваться при этом результатом (10.65), заметив, что

Y

=

x

₀

–

x

.

(11.21)

Так как знаменатель является просто частным случаем выражения, стоящего в числителе, то

=

^–

^–

[

V(x

₀

)

–

W(

x

)

]

exp

–

6m

(x

₀

–

x

)^2

x

x

{exp[

–

W(

x

)

]}

dx

₀

d

x

x

^–

^–

exp

–

6m

(x

₀

–

x

)^2

x

x

{exp[

–

W(

x

)

]}

dx

₀

d

x

– 1

.

(11.22)

Интеграл по x₀ в знаменателе выражения (11.22) легко вычисляется и даёт (/6m) ^1/2 . Кроме того, интеграл в числителе, содержащий W(x), даёт в точности такой же сомножитель. Для последующего интегрирования в числителе и упрощения окончательного выражения удобно ввести функцию

V(x)

=

6m

^–

V(x

₀

)

exp

–

6m

(x

₀

–

x

)^2

dx

₀

.

(11.23)

Вид функции

V(x)

отражает учтённый нами квантовомеханический эффект. Эта функция является средневзвешенным потенциала V(x₀) с гауссовой весовой функцией, подобно тому, как мы имели для функции U(x₀), определённой соотношением (10.68); ширина гауссовой кривой равна снова (h^2/12m) ^1/2 . Для атома гелия при температуре 2° К эта ширина порядка 0,7 A, однако при комнатных температурах она составит не более 2% от 2,7 A (диаметр атома гелия). Величину теперь можно записать в виде