Квантовая механика и интегралы по траекториям

=

exp

i

k(t)F(t)dt

x

x

exp

–

1

2

k(t)

k(t')

A(t,t')

dt

dt'

.

(12.40)

Первый множитель в этом выражении можно устранить сдвигом начала отсчёта f(t), как это уже отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию f'=f-F(t). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро A(t,t') должно иметь форму A(t-t').

В конкретных физических задачах вид функции A можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближённой картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведённый выше вывод шумового спектра даёт пример, такого приближения. При этом A(t,t')=(t-t'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.

Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя i отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в § 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.

Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид

P[f(t)]

=

exp

–

1

2

[f(t)-F(t)]

x

x

[f(t')-F(t')]

B(t,t')

dt

dt'

.

(12.41)

где теперь функция B(t,t') представляет собой ядро, обратное ядру A(t,t'), т.е. функции A и B связаны равенством

A(t,)

B(,s)

d

=

(t-s)

.

(12.42)

Задача 12.1. Доказать равенство (12.42).

Все параметры распределения можно вычислить из характеристического функционала методом, изложенным в гл. 7.

Здесь мы изучим более детально некоторые физические характеристики постоянного во времени гауссова шума, т.е. изучим распределения с характеристическим функционалом

=

exp

–

1

2

k(t)

k(t')

A(t-t')

dt

dt'

.

(12.43)

Функция A называется корреляционной функцией. Выражение (12.43) означает, что вероятность наблюдения заданной шумовой функции f(t) равна

P[f(t)]

=

exp

–

1

2

k(t)

k(t')

B(t-t')

dt

dt'

.

(12.44)

В последнем выражении появилась функция B, обратная по отношению к корреляционной функции A. Это означает, что B(t-s)A(s)ds=(t) или, если

P

=

A

e

ⁱ

d

(12.45)

является преобразованием Фурье от функции A, то преобразование Фурье от функции B равно 1/P.

Мы начнём с численного анализа некоторых свойств этого распределения. Сначала покажем, что среднее значение шумовой функции равно нулю. Как следует из равенства (12.13), среднее значение шума в данный момент времени определяется соотношением

f(a)

=

– i

k(a)

(12.46)

В этом выражении, согласно § 2 гл. 7, функциональная производная функционала (12.43) равна

k(a)

=

–

k(t)

A(t-a)

dt

(12.47)

и обращается в нуль, если k(t)=0.

Вычислим теперь средний квадрат шумовой функции, или, лучше, среднее значение произведения двух шумовых функций в моменты a и b. Эта величина называется корреляционной функцией шума. Дважды продифференцировав обе части равенства (12.12), имеем

f(a)f(b)

=

^2

k(a)k(b)

=

A(b-a)

–

–

k(t)

A(t-a)

dt

k(t')

A(t'-a)

dt'

.

(12.48)

Вычислив это выражение для k=0, получим просто A(b-a). Отсюда ясно, почему A называется корреляционной функцией.

§ 5. Спектр шума

Наиболее употребительная характеристика распределения шумов — это спектр их интенсивности (см. задачу 6.26), который определяется как среднее значение квадрата от фурье-образа шумовой функции, т.е. от

=

f(t)

e

^it

dt

.

(12.49)

Используя наши предыдущие результаты, можно найти

||^2

=

f(a)

e

^ia

da

f(b)

e

^ib

db

=

=

f(a)f(b)

e

^i(a-b)

da

db

=

=

A(b-a)

e

^i(a-b)

da

db

=

P

da

.

(12.50)

Здесь мы использовали функцию P, фурье-образ корреляционной функции A [см. выражение (12.45)].

Если проинтегрировать в последнем из равенств (12.50), то получится бесконечный результат. Поэтому среднеквадратичную величину, которую мы хотим найти, можно определить лишь для некоторого конечного интервала времени. Если взять единичный интервал времени, то можно сказать, что средняя мощность в расчёте на 1 сек